|
|
| • ช่วงของจำนวนจริง |
| |
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b |
| |
1. ช่วงเปิด (a, b) |
| |
(a, b) = { x | a < x < b } |
| |
 |
| |
|
| |
2. ช่วงปิด [a, b] |
| |
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } |
| |
 |
| |
|
| |
3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] |
| |
(a, b] = { x | a < x ≤ b } |
| |
 |
| |
|
| |
4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) |
| |
[a, b) = { x | a ≤ x < b } |
| |
 |
| |
|
| |
5. ช่วง (a, ∞) |
| |
(a, ∞) = { x | x > a} |
| |
 |
| |
|
| |
6. ช่วง [a, ∞) |
| |
[a, ∞) = { x | x ≥ a} |
| |
 |
| |
|
| |
7. ช่วง (-∞, a) |
| |
(-∞, a) = { x | x < a} |
| |
 |
| |
|
| |
8. ช่วง (-∞, a] |
| |
(-∞, a] = { x | x ≤ a} |
| |
 |
| |
|
| • การแก้อสมการ |
| |
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว |
| |
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
| |
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
| |
|
| |
หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว |
| |
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น |
| |
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
| |
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c |
| |
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
| |
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc |
| |
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc |
| ------------------------------------------------------------------- |
| ตัวอย่างที่ 1 |
จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 |
| วิธีทำ |
|
x + 3 |
> |
12 |
| |
∴ |
x + 3 + (-3) |
> |
12 + (-3) |
| |
|
x |
> |
9 |
| |
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) |
| ------------------------------------------------------------------- |
| ตัวอย่างที่ 2 |
จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 |
| วิธีทำ |
|
2x + 1 |
< |
9 |
| |
∴ |
2x + 1 + (-1) |
< |
9 + (-1) |
| |
|
2x |
< |
8 |
| |
|
 |
(2x) |
|
< |
|
(8) |
|
| |
|
x |
< |
4 |
| |
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4) |
| ------------------------------------------------------------------- |
| ตัวอย่างที่ 3 |
จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5 |
| วิธีทำ |
|
4x - 5 |
≤ |
2x + 5 |
| |
|
4x - 5 + 5 |
≤ |
2x + 5 + 5 |
| |
|
4x |
≤ |
2x + 10 |
| |
|
4x - 2x |
≤ |
2x + 10 - 2x |
| |
|
2x |
≤ |
10 |
| |
|
|
(2x) |
|
≤ |
|
(10) |
|
| |
|
x |
≤ |
5 |
| |
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5] |
| ------------------------------------------------------------------- |
| |
| |
หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง |
| |
กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| |
1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 |
| |
| 2. ถ้า |
 |
= 0 แล้ว จะได้ a = 0 |
|
| |
3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
| |
4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
| |
5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0 |
| |
6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0 |
| |
| 7. ถ้า |
|
> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
|
| |
| 8. ถ้า |
|
< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
|
| |
| 9. ถ้า |
|
≥ 0 แล้ว จะได้ |
|
> 0 หรือ |
|
= 0 |
|
| |
| 10. ถ้า |
|
≤ 0 แล้ว จะได้ |
|
< 0 หรือ |
|
= 0 |
|
| ------------------------------------------------------------------- |
| ตัวอย่างที่ 4 |
จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 |
| วิธีทำ |
|
ถ้า (x - 3)(x - 4) |
> |
0 แล้วจะได้ |
| |
|
x - 3 |
> |
0 และ x - 4 > 0 |
| |
|
x |
> |
3 และ x > 4 |
| |
 |
| |
∴ |
เมื่อ x - 3 |
> |
0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4 |
| |
|
หรือ x - 3 |
< |
0 และ x - 4 < 0 |
| |
|
x |
< |
3 และ x < 4 |
| |
 |
| |
∴ |
x - 3 |
< |
0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 |
| |
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ |
| |
{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ ) |
| ------------------------------------------------------------------- |
| ตัวอย่างที่ 5 |
จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 |
| วิธีทำ |
|
ถ้า (x - 3)(x - 4) |
< |
0 แล้วจะได้ |
| |
|
x - 3 |
> |
0 และ x - 4 < 0 |
| |
|
x |
> |
3 และ x < 4 |
| |
 |
| |
∴ |
เมื่อ x - 3 |
> |
0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4 |
| |
|
หรือ x - 3 |
< |
0 และ x - 4 > 0 |
| |
|
x |
< |
3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ |
| |
 |
| |
∴ |
ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0 |
| |
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ |
| |
{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4) |
| ------------------------------------------------------------------- |
|
