หน้าแรก
เซต
ตรรกศาสตร์
ความสัมพันธ์
ฟังก์ชั่น
ระบบจำนวนจริง
เรขาคณิตวิเคราะห์
โครงสร้างเว็บไซต์
แหล่งอ้างอิง
เกี่ยวกับเรา

 

บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
 

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
   
ตัวอย่างเช่น
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
  4x2 + 4x +1 = 0
  2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
   
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
   
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
  การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
 
นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
   
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
 
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
  แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
  นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
   
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
  ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
  (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
  (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
   
  ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
        1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
  f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 
      2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
  จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
        3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
  ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
  ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 
= x2 - x - 2
            x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
                                     = (x-1)(x-2)(x+1)
  x3 - 2x2 - x + 2 = 0
  (x-1)(x-2)(x+1) = 0
                         x = 1, 2, -1
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
  ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
  ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
                                      = (x-1)(x-3)(x-6)
  x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
  (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
                         x = 1, 3, 6
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
  ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
             = 27 - 9 - 15 - 3
             = 0
  ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
                             = (x-3)(x+1)(x+1)
  x3 - x2 - 5x - 3 = 0
  (x-3)(x+1)(x+1) = 0
                          x = 3, -1
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
  ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
             = 16 - 12 - 34 +30
             = 0
  ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
                                       = (x-2)(2x - 5)(x+3)
  2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
  (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
 
x =2,
, -3
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
   ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
             = -48 + 44 + 8 - 4
             = 0
  ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
                                      = (x+2)(3x-2)(2x+1)
  6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
  (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
 
x = -2,
,
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, , }
-------------------------------------------------------------------

 

หน้าแรก | เซต | ตรรกศาสตร์ | ความสัมพันธ์ | ฟังก์ชัน | ระบบจำนวนจริง | เรขาคณิตวิเคราะห์ | โครงสร้างเว็บไซต์ | แหล่งอ้างอิง | เกี่ยวกับเรา