บทประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชัน    ตอน  1     

PrintPrint Document

1)  ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน  (Maximum  and minimum values  of   function)

นิยาม  ฟังก์ชัน f  มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ณ  ที่  x = c  
        ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในช่วงเปิดนี้
                        high3.jpg
 ถ้า  f '(x) >0   เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย
แต่   f '(x) < 0  เมื่อ x  มากกว่า c เล็กน้อย   
 แล้วฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  ที่ x  =  c   และค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ   f(c) 

นิยาม    ฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์   ณ   ที่     x   =   c
 ถ้าในช่วงเปิดมีค่า c ที่ทำให้  f(c)  f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x   ในช่วงเปิดนี้      

                    low3.jpg
ถ้า f '(x)<0  เมื่อ x  น้อยกว่า c เล็กน้อย แต่ f '(x)> 0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย
 แล้วฟังก์ชัน f  มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = c   และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ  f(c) 

นิยาม    ถ้า  c   เป็นจำนวนในโดเมนของฟังก์ชัน   f    และถ้า   f ' (c)   =   0   
                                                          หรือ   f ' (c)   หาค่าไม่ได้
 จะเรียก c  ว่าเป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  f  และจุด   (c , f(c) )
               บนกราฟของ   f   ถูกเรียกว่า   จุดวิกฤตของกราฟของ   f    
 เมื่อทราบว่า  f ' (c)  = 0   แสดงว่า  c  เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน  ให้ระวังดังนี้

1.   c   อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  

                   high2.jpg 

 ถ้ากราฟเป็นรูปคว่ำลง แล้ว f '' (x) < 0   แสดงว่า  f ''(c) < 0   ด้วย  

2.   c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  

                   low2.jpg 

 ถ้ากราฟเป็นรูปหงายขึ้น  แล้ว f '' (x) >  0 แสดงว่า  f ''(c) > 0  ด้วย

  3.  c  อาจเป็นค่าวิกฤตที่ไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์    เช่น         

slope2.jpg   slope1.jpg                       

    

              

 

    

 

 

ตัวอย่าง กำหนดให้  f(x)  =   อยากทราบว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ใด  และมีค่าเท่าใด  
                 f (x)      =      
                 f '(x)     =    
   ให้        =    0    จะได้ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน   x  =  

  ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์       
             f ' '(x)  =      =    -12 x

   นำค่าวิกฤตของฟังก์ชัน    x =      แทนค่าใน     f ' '(x)    

 จะได้     f ' '(   )    =       <    0

และ   f ' '(    )    =       >    0    

     แสดงว่าที่   x   =         จะเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

  ดังนั้นฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์ที่    x    =       

 ฟังก์ชันมีค่า สูงสุดสัมพัทธ์      =      f ( )
                                  =         =    

 

ตัวอย่าง  กำหนดให้  f(x)  =     แล้ว อยากทราบว่าที่จุด  x  =  2  
           จะทำให้ฟังก์ชันมีค่าเท่าไร

               จาก         f(x)      =        
                                   f ' (x)     =     

 แทนค่า   x    =   2     ใน   f ' (x)    
        จะได้      f ' (2)     =           =   0
              แสดงว่า     x    =   2     เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน

  ตรวจสอบจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดสัมพัทธ์   
     f ' ' (x)       =    
     แทนค่า   x    =   2   ใน   f ' ' (x)    
                 f ' ' (2)     =      =    48    มีค่ามากกว่า    0
           แสดงว่าที่     x    =   2     จะเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

 ฟังก์ชันมีค่า ต่ำสุดสัมพัทธ์ =  f(2)  =  =  - 15                                                      

           ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด
  ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น
  กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น

นิยาม    ฟังก์ชัน   f    มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บนช่วงหนึ่งช่วงใด   
ถ้ามีจำนวน   c   ที่อยู่ในช่วงนั้นซึ่ง  f(c)    f(x)  สำหรับทุก ๆ  ค่า x  ในช่วงนั้น
  กรณีเช่นนี้    f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ   f    บนช่วงนั้น

นิยาม     f(c)   เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f
  และถ้า   f(c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในโดเมนของ   f  
นิยาม     f(c)   เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ ฟังก์ชัน   f    ถ้า  c  อยู่ในโดเมนของ   f
  และถ้า   f (c)    f(x)   สำหรับทุก ๆ  ค่า   x   ในโดเมนของ   f

 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าสูงสุดจริง ๆ              ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ  ค่าต่ำสุดจริง ๆ

หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย  ค่าสูงสุดมักจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดมักจะเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

การกำหนดค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องf ช่วงปิด [a,b]   
        มีขั้นตอนดังนี้
        1.   หาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤตของ   f   บนช่วงปิด    [a , b]
        2.   หาค่า   f(a)   และ    f(b)
        3.   ค่ามากที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์
              ค่าน้อยที่สุดจากข้อที่  1  และข้อที่  2  เป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

 บทประยุกต์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด                                                           

หลักการพิจารณาหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

1.  อ่านโจทย์ให้ละเอียด   ค้นหาปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด
      แล้วสมมุติให้เป็น   y   เป็นตัวปริมาณที่โจทย์ถามหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด

2.   สมมุติให้  x เป็นตัวเปลี่ยนต้นที่แทนปริมาณที่ทำให้  y  เปลี่ยนแปลง

3.  ให้สถานการณ์ได้ว่า    y   =   f(x)

4.  ดำเนินการตามขั้นตอนในการหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน   
     4.1 การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์  และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้   และ  เข้าช่วย
               -  หา       
              -   ให้        =   0    แก้สมการ
                   หาค่า  x  สมมุติให้   x   =  c  "ค่าวิกฤต"   ตรวจสอบต่อดังนี้   
    ถ้า     /  x  =  c   <   0   (c, f(c) )  
    เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์  =   f (c)

    ถ้า     /  x  =  c   >  0  (c, f(c) )  
    เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์  =   f (c)

    4.2   หาค่าสูงสุดสัมพัทธและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  โดยใช้กราฟ

ตัวอย่าง  สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีพื้นที่  2700  ตารางเมตร   ต้องการล้อมรั้ว
โดยรอบและ รั้วแบ่งครึ่งสนาม    ซึ่งรั้วสำหรับแบ่งครึ่งสนามราคาเมตรละ 80   บาท
ส่วนรั้วโดยรอบ สนามราคาเมตรละ 120 บาท จงหาขนาดของสนามซึ่งจะเสียค่ารั้ว
น้อยที่สุด

 วิธีทำ   ให้สนามยาว   x  เมตร          และกว้าง    y   เมตร
         ให้ค่าทำรั้วทั้งหมดเป็น     f(x)
 ดังนั้น     f(x)    =    120 ( 2 x + 2 y )  +   80  y      
                     =     240 x  +  320 y
   แต่พื้นที่สนามทั้งหมดเท่ากับ    2700    ตารางเมตร
   เพราะฉะนั้น           x y       =         2700
                             y       =         

  นั่นคือ                   f(x)    =        240 x  +  320  

     x  ต้องอยู่ในช่วง  ( 0 ,  + )    และ  f ต่อเนื่องตลอดช่วงนี้

        f '(x)      =        240   -   

   ให้    f '(x)     =           0       

    240   -        =           0

           =           0

                                =          3600

                      x          =         60

ดังนั้น  60   เป็นค่าวิกฤตของ  f  
ใช้อนุพันธ์อันดับ  2   ทดสอบว่า    f(60)     เป็นค่าต่ำสุดหรือไม่

   f '' (x)   =         ซึ่งมีค่ามากกว่า      0

แสดงว่า  f(60)
 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ  f ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน  (0, )

เพราะว่าสนามมีพื้นที่เท่ากับ   x y    =    2700   
                           ถ้า    x   =   60     จะได้    y    =    45

 ดังนั้นสนามจะต้องกว้าง 45  เมตร ยาว 60  เมตร  จึงจะเสียค่ารั้วน้อยที่สุด

ตัวอย่าง  ถังเปิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส   และมีปริมาตร125  ล.บ.เมตร  
ค่าวัสดุที่ใช้ ทำก้นถังตารางเมตรละ160 บาท  และวัสดุสำหรับด้านข้างตารางเมตรละ 80 บาท
จงหาขนาดของถังที่มีความจุเท่าเดิมแต่เสียค่าวัสดุน้อยที่สุด

วิธีทำ     ให้ถังมีฐานยาวด้านละ     x       เมตร
            ถังมีความสูง             y       เมตร
         ถังนี้มีปริมาตร       =       = 125    ล.บ.เมตร ...........(1)

ให้    f(x)     เป็นค่าวัสดุที่ใช้ทำถัง

      f(x)   =  

              =  

  จาก (1)     ได้       y       =      

                    f(x)         =      

 โดเมนของ    f      คือ    ( 0 ,   )

                     f ' (x)      =       

  เมื่อ      x   =    0     เราหาค่า      f ' (x)    ไม่ได้
     แต่    x    =    ไม่อยู่ในโดเมนของ   f    

  ให้                     f '(x)    =     0

            =      0

           =      0

                                   =     125

                         x           =       5

 ดังนั้น        5   เป็นค่าวิกฤตของ       f

 ใช้อนุพันธ์อันดับ   2   ทดสอบว่า f(5)    เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่

   f ' ' (x)         =              ซึ่งมีค่ามากกว่า    0

 แสดงว่า  f(5) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ  f   ซึ่งมีเพียงค่าเดียวใน (0 , )

  เพราะว่า  ปริมาตรของถังคือ                  =   125

             ถ้า   x  =    5    จะได้      y     =     5

    ดังนั้นจะต้องทำถังซึ่งมีฐานจัตุรัสด้านละ   5  เมตร    และสูง    5   เมตร
        จึงจะได้ถังมีปริมาตรตามต้องการและเสียค่าวัสดุน้อยที่สุด

กำลังจะเข้าใจ ....ลองเข้าไปฝีกทักษะคุณชำนาญอยู่ไหมเอ่ย   เรียนตอนต่อไป.....ศึกษาตอนต่อไป

 

 คุณเข้ามาเยี่ยมชมอันดับที่
 



ตั้งแต่วัน
พุธที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2545
Copyright (c) 2005 www.thaigoodview.com. All rights reserved.