เรื่องวิธีจัดหมู่

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริม)

การเรียงสับเปลี่ยน คือเอารูปแบบของการเรียงลำดับเป็นเรื่องสำคัญ สิ่งของ 2 กลุ่ม แม้จะมีของทุกอย่างเหมือนกัน แต่ถ้ารูปแบบของการเรียงลำดับต่างกัน
ถือว่าเป็นวิธีที่ต่างกัน การจัดหมู่ ไม่ถือรูปแบบของการเรียงลำดับเป็นสำคัญ สิ่งของ 2 กลุ่ม ถ้ามีของทุกสิ่งในกลุ่มเหมือนกัน
ไม่ว่าจะเรียงลำดับต่างกันอย่างไร ก็ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน แต่ถ้าสิ่งของในแต่ละกลุ่มแตกต่างกันแม้เพียงสิ่งเดียว ก็ถือว่าเป็นคนละวิธี

ตัวอย่าง การจัดเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร a , b , c ครั้งละ 2 ตัว จะได้ 6 วิธี คือ
       a b        b c        c a
       b a        c b        a c
แต่ในเรื่องการจัดหมู่ ถือว่ามีเพียง 3 วิธี คือ         a b         b c         c a

พิจารณาในแง่ของเซตการจัดหมู่สิ่งของ 3 สิ่ง ดังกล่าวโดยจัดครั้งละ 2 สิ่งก็คือ
การหาสับเซต ที่มีสมาชิก 2 ตัวของเซต{a,b,c} ซึ่งจะได้ 3 สับเชตคือ{a,b},{a,c} ,{b, c}        
ดังนั้น การเลือกตัวอักษร 2 ตัว จากตัวอักษร 3 ตัวที่กำหนดให้จะมีทั้งหมด 3 วิธี

โดยทั่วไปวิธีจัดหมู่สิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยให้มีหมู่ละ r สิ่ง ( r< หรือ= n ) คือ
การหาสับเซตที่มีสมาชิก r ตัว จากเซตที่มีสมาชิก n ตัวที่กำหนดให้
จำนวนวิธีจัดหมู่สิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยจัดหมู่ละ r สิ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C_n,r หรือ n C r หรือ n C r
จำนวนวิธีการจัดหมู่ของตัวอักษร 3 ตัว โดยจัดครั้งละ 2 ตัว แทนด้วย C_{3, 2}
ถ้าในแต่ละหมู่ที่เลือกมาถือลำดับเป็นสำคัญ จะพบว่าตัวอักษรในแต่ละหมู่ยังสามารถสลับกันได้อีก 2! วิธี
ดังนั้น C_3,2 X 2! = จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร 2 ตัว จากตัวอักษรที่แตกต่างกัน 3 ตัว
นั่นคือ C _3,2 X 2! = P _{3 , 2}
C _3,2 = = 3 วิธี

โดยทั่วไป ความสัมพันธ์ของการจัดเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่สิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน โดยจัดครั้งละ r สิ่งคือ
        C _{n , r} X r! = P n , r
        C _{n , r} =

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม
โดยจำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มไม่เท่ากัน

        หลักในการคิด คือ ใช้วิธีการจัดหมู่ไปทีละขั้นตอน

ตัวอย่าง มีนักเรียน 6 คนจัดแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม โดยให้มีกลู่มละ 3 , 2 และ1 คน ได้กี่วิธี
การทำงานนี้ประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นที่ 1 เลือกคน 3 คน จาก 6 คน มาเป็นกลุ่มที่ 1 จัดได้ C _6,3 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถเลือกทำขั้นที่ 2 ได้ดังนี้
ขั้นที่ 2 เลือกคน 2 คน จาก 3 คนที่เหลือในขั้นตอนที่ 2 จัดได้ C _3,2 วิธี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 2 สามารถเลือกทำขั้นที่ 3 ได้ดังนี้
ขั้นที่ 3 เลือกคน 1 คน จาก 1 คนที่เหลือในขั้นตอนที่ 2 จัดได้ C _1,1 วิธี
สรุปจากการกระทำทั้ง 3 ขั้นตอนต่อเนื่องกัน
จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด = C _6,3 X C _3,2 X C _1,1 = วิธี

สรุปเป็นกฎเกณฑ์ได้ดังนี้ ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีสิ่งของ ไม่เท่ากัน
โดยให้กลุ่มที่ 1,2,3,…,k มีสิ่งของ n₁,n₂,…,n_k สิ่งตามลำดับ และ n₁+n₂+…+n_k = n
จำนวนวิธีแบ่งทั้งหมด =

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม
โดยที่จำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มเท่ากัน และแต่ละกลุ่มมีลักษณะต่างกัน

ตัวอย่าง บริษัทหนึ่ง คัดเลือกพนักงานหญิง 4 คน ต้องการจัดหญิง 4 คนนี้ไปประจำที่ภาคใต้
เมืองหาดใหญ่และยะลา เมืองละ 2 คน จะมีวิธีจัดพนักงานทั้ง 4 คนนี้ได้ทั้งหมดกี่วิธี
แบ่งพนักงานออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 2 คน เนื่องจากกลุ่มหนึ่งไปทำงานที่หาดใหญ่ อีกกลุ่มหนึ่งไปทำงานที่ยะลา
ดังนั้น 2 กลุ่มนี้มีลักษณะไม่เหมือนกัน
ดังนั้นจากหลักการดังกล่าวข้างต้น จำนวนวิธีจัดทั้งหมด = = 6 วิธี สามารถแสดงให้เห็นภาพดังนี้

ให้ ก ข ค ง เป็นพนักงานหญิง 4 คน นำมาจัดแบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 คนได้ดังนี้
วิธีที่       ทำงานที่เมืองหาดใหญ่           ทำงานที่เมืองยะลา
    1              ก ข                                           ค ง
    2              ก ค                                           ข ง
    3              ก ง                                           ข ค
    4              ข ค                                           ก ง
    5              ข ง                                            ก ค
    6              ค ง                                           ก ข
ให้สังเกตวิธีที่ 1 กับวิธีที่ 6 แม้ว่านางสาว ก จะคู่กับนางสาว ข และ ค คู่กับ ง ก็ตามแต่ให้สถานที่ทำงานต่างกัน

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างออกเป็นกลุ่ม
โดยที่จำนวนสิ่งของในแต่ละกลุ่มเท่ากัน และแต่ละกลุ่มมีลักษณะเหมือนกัน

กรณีนี้จะถือว่ากลุ่มที่เราแบ่งนั้น ไม่ว่าจะอยู่กลุ่มใดมีความสำคัญเท่ากัน หรือเหมือนกัน ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง มีของ 4 สิ่งคือ ก ข ค ง ต้องการแบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 สิ่ง ได้กี่วิธี
หากใช้วิธีคิดตามข้างต้น โดยถือว่าทั้งสองกลุ่มมีลักษณะแตกต่างกัน
จะได้จำนวนวิธี = = 6 วิธี

สามารถแสดงให้เห็นภาพดังนี้

วิธีที่       กลุ่มแรก      กลุ่มหลัง
    1         ก ข                 ค ง
    2         ก ค                 ข ง
    3         ก ง                 ข ค
    4         ข ค                 ก ง
    5         ข ง                 ก ค
    6         ค ง                 ก ข

พิจารณา สิ่งของของแต่ละกลุ่มจาก 6 วิธี จะพบว่า

การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 1 เหมือนกับวิธีที่ 6

การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 2 เหมือนกับวิธีที่ 5

การแบ่งกลุ่มวิธีที่ 3 เหมือนกับวิธีที่ 4
เนื่องจากของ 2 กลุ่มมีจำนวนสิ่งของเท่ากัน สลับที่กันได้ 2! วิธี แต่การสลับที่กัน ไม่ถือว่าเป็นวิธีที่แตกต่างกัน
จำนวนวิธีแบ่ง 6 วิธีข้างต้น จึงเป็นจำนวนที่เกิดจากการนับซ้ำ ดังนั้นเมื่อต้องการหาจำนวนวิธีที่ต่างกัน
จะต้องนำ 2! ไปหารจำนวนวิธีแบ่งที่หาไว้แต่เดิม
จำนวนวิธีแบ่งของ 4 สิ่ง ออกเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 สิ่ง = = 3 วิธี

สรุปเป็นกฎเกณฑ์ได้ดังนี้

ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน ต้องการแบ่งเป็น k กลุ่ม โดยที่บางกลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน
ถ้ากลุ่มที่มีจำนวนสิ่งของเท่ากัน ไม่มีความหมายแตกต่างระหว่างกลุ่ม
จำนวนวิธีแบ่ง จะต้องหาร ด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนกลุ่มที่มีสิ่งของเท่ากัน

การแบ่งสิ่งของที่เหมือนกันออกเป็นกลุ่มย่อยๆ

การนำสิ่งของที่เหมือนกันๆกันมาแบ่งเป็นกลุ่มๆ โดยมีเงื่อนไขดังนี้
1. ในแต่ละกลุ่มต้องมีของอย่างน้อย 1 สิ่ง
2. ในแต่ละกลุ่มต้องมีลักษณะไม่เหมือนกัน
แนวการคิดสามารถกระทำได้ ดังนี้

ตัวอย่าง ให้ของที่เหมือนกันทั้งหมดมี 6 สิ่ง ต้องการแบ่งให้กับเด็ก 3 คน คือ ก , ข, ค
ขั้นแรก นำของทั้ง 6 สิ่งมาจัดเรียงเป็นแถวยาว
ขั้นสอง นำไม้ 2 อันมาวางคั่นระหว่างของที่วางเรียง เพื่อแบ่งของทั้งหมดเป็น 3 กลุ่ม

ตัวอย่างการวางจะเป็นดังนี้
1. เด็กชาย ก ได้ 1 สิ่ง        เด็กชาย ข ได้ 2 สิ่ง         เด็กชาย ค ได้ 3 สิ่ง
2. เด็กชาย ก ได้ 2 สิ่ง        เด็กชาย ข ได้ 1 สิ่ง         เด็กชาย ค ได้ 3 สิ่ง

จากตัวอย่างข้างต้น แสดงว่าการแบ่งของให้คน 3 คน สามารถทำได้โดย นำไม้ 2 อัน มาแบ่งของออกเป็น 3 กอง
และจากรูป จะพบว่าช่องที่จะนำไม้ 2 อัน มาวางเพื่อแบ่งของเป็น 3 กองนั้น จะมีอยู่ 5 ช่อง
ดังรูปต่อไปนี้ สังเกต ช่องระหว่างสัญลักษณ์ $        ₁         $               ₂         $                ₃         $        ₄         $        ₅         $

แต่เนื่องจากเราเลือกวางเพียง 2 ช่อง ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะทำได้ C _5,2 วิธี
ซึ่ง C _5,2 อยู่ในรูปของ C _6-1,3-1 เมื่อ 6 คือจำนวนของทั้งหมด และ 3 คือจำนวนกลุ่ม พอสรุปแนวความคิดได้ดังนี้

ถ้ามีของ n สิ่งเหมือนกัน นำมาแบ่งเป็นกลุ่ม r กลุ่ม โดยที่แต่ละกลุ่ม ต้องมีของอย่างน้อย 1 สิ่ง และแต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกัน จำนวนวิธีที่จะทำได้เท่ากับ C _{n-1 , r-1}

ข้อสังเกต คำว่าแต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกันนั้นเป็นอย่างไร
ดูตัวอย่าง การแบ่งของ 6 สิ่งให้คน 3 คน ตามตัวอย่างข้างต้น อาจจะเกิดวิธีต่อไปนี้ได้

วิธีที่ 1. นาย ก ได้ 1 สิ่ง       นาย ข ได้ 2 สิ่ง       นาย ค ได้ 3 สิ่ง
วิธีที่ 2. นาย ก ได้ 3 สิ่ง       นาย ข ได้ 2 สิ่ง       นาย ค ได้ 1 สิ่ง
จะพบว่า 2 วิธี นี้ต่างกัน

ลักษณะเช่นนี้ ถือว่า แต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกัน เพราะบ่งบอกว่าแต่ละกลุ่มเป็นของใคร
      แต่ถ้าไม่บ่งบอกว่า แต่ละกลุ่มเป็นของใคร กล่าวคือ พูดลอยๆจะเหมือนกัน นั่นคือ ใน 3 กลุ่มนั้น
มีกลุ่มที่มี 1 ชิ้น กลุ่มที่มี 2 ชิ้น กลุ่มที่มี 3 ชิ้น เหมือนกัน
ดังนั้นในการทำโจทย์เหล่านี้ นักเรียนควรวิเคราะห์และแยกแยะให้ดีว่า แต่ละกลุ่มมีลักษณะแตกต่างกันหรือไม่

ตัวอย่าง จะแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนๆกัน ให้กับ นายอิน กับนายจัน โดยที่แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก ทำได้กี่วิธี
การแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนๆกัน ให้กับ นายอิน กับนายจัน โดยที่แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก
ก็เหมือนกับแบ่งลูกบอลอออกเป็นกลุ่ม 2 กลุ่ม กลุ่มละอย่างน้อย 1 ลูก และแต่ละกลุ่มมีลักษณะไม่เหมือนกัน
(กลุ่มหนึ่งเป็นของนายอิน และอีกกลุ่มหนึ่งเป็นของ นายจัน )
ดังนั้นจำนวนวิธีที่ทำได้ C_{4-1 , 2-1} = C_{3 , 1} = 3 วิธี
วิธีที่ 1       นายอินได้ 1       นายจันได้ 3
วิธีที่ 2       นายอินได้ 2       นายจันได้ 2
วิธีที่ 3       นายอินได้ 3       นายจันได้ 1

ตัวอย่าง จะแบ่งลูกบอล 4 ลูกเหมือนกัน ออกเป็น 2 กอง โดยที่แต่ละกองต้องมีลูกบอลอย่างน้อย 1 ลูก ทำได้กี่วิธี
กรณีที่แต่ละกลุ่มมีลักษณะเหมือนกัน ไม่ได้บ่งบอกว่าแต่ละกลุ่มเป็นของใคร จะได้ว่า
วิธีที่ 1 และวิธีที่ 3 จะเหมือนกัน คือ กลุ่มหนึ่งมี 1 ลูก และอีกกลุ่มหนึ่งมี 3 ลูก
จำนวนวิธีที่ทำได้ = 2 วิธี
นั่นคือ วิธีแรก แบ่งกลุ่มละ 1 ลูก กับ 3 ลูก
วิธีที่สอง แบ่งกลุ่มละ 2 ลูก กับ 2 ลูก

แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด