วิชาคณิตศาสตร์ ค 016 กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

เรื่องกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริม)

สรุปแนวทางการแก้ปัญหามูลฐานเกี่ยวกับการนับ

การคิดแบบแจกแจงด้วยสภาพจริง
การคิดแบบผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต
ตัวอย่าง นักเรียนมีเสื้อใส่เที่ยวสีต่าง ๆ จำนวน 4 ตัว กางเกงขาสั้น และขายาวอย่างละตัว นักเรียนจะแต่งกายได้ชุดต่าง ๆ กันได้กี่ชุด

ให้ A = { สีฟ้า , สีเหลือง , สีแดง , สีม่วง }

B = { ขาสั้น , ขายาว }

A X B = { (สีฟ้า,ขาสั้น) , (สีฟ้า,ขายาว) , (สีเหลือง, ขาสั้น) , (สีเหลือง, ขายาว) , (สีแดง,ขาสั้น) , (สีแดง, ขายาว) , (สีม่วง,ขาสั้น) , (สีม่วง,ขายาว) }

จะได้จำนวน สมาชิก A X B จำนวน 8 ตัว

เพราะฉะนั้น นักเรียนจะมีชุดต่าง ๆ กัน ได้ 8 ชุด

3. แบบแผนภูมิต้นไม้ มี 2 แบบ

แบบที่ 1 แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างเป็นระเบียบ

แบบที่ 2 แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างไม่เป็นระเบียบ

4. กฎการคูณ ถ้าทำงานอย่างหนึ่งให้เสร็จ ประกอบด้วย k ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีเลือก n₁ วิธี

ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีเลือก n₂ วิธี

. . .

ขั้นตอนที่ k มีวิธีเลือก n_kวิธี

จะได้ว่า จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกทำงานนี้ เท่ากับ n₁ n₂ n₃ . . . n_kวิธี

ตัวอย่าง ข้อสอบคณิตศาสตร์มีข้อสอบแบบจริงหรือเท็จ อยู่ 10 ข้อ จะเลือกตอบข้อสอบทั้ง 10 ข้อได้กี่วิธี
ข้อสอบจำนวน 10 ข้อ =ข้อ1 X ข้อ2 X ข้อ3 X ข้อ4 X ข้อ5 X ข้อ6 X ข้อ7 X ข้อ8 X ข้อ9 X ข้อ10
แต่ละข้อเลือกตอบได้ =ข้อ1 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ2 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ3 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ4 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ5 เลือกตอบได้ 2วิธี ,
ข้อ6 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ7 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ8 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ9 เลือกตอบได้ 2วิธี , ข้อ10 เลือกตอบได้ 2วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 1024 วิธี

5. กฎการบวก ถ้าต้องการทำงานหนึ่ง ซึ่งงานนั้นได้แยกเป็นกรณี k กรณี โดยแต่ละกรณีมีวิธีทำงานเสร็จ ดังนี้

กรณีที่ 1 มีวิธีทำงานจนเสร็จ ได้ n₁ วิธี

กรณีที่ 2 มีวิธีทำงานจนเสร็จ ได้ n₂ วิธี

กรณีที่ 3 มีวิธีทำงานจนเสร็จ ได้ n₃ วิธี

. . .

จะได้ว่า วิธีทำงานที่แตกต่างกันมี n₁+ n₂+ n₃ + . . . + n_k วิธี

ตัวอย่าง ในการเดินทางจากหาดใหญ่ถึงกรุงเทพฯมีวิธี 2 ทาง ขึ้นเครื่องบินกับนั่งรถไฟไปต่อรถยนต์ และพบว่าเครื่องบินมี 3 เที่ยว

รถไฟมี 4 ขบวน รถยนต์มี 5 คัน อยากทราบว่าจะมีวิธีการเดินทางได้กี่วิธี

กรณีที่ 1 บินไป 3 วิธี ……(งานเสร็จ)

กรณีที่ 2 นั่งรถไฟต่อรถยนต์ได้ 4 X 5 วิธี (นั่งรถไฟ เลือกได้ 4 วิธี งานไม่เสร็จ เพราะนั่งรถไฟอย่างเดียวไม่ถึงกรุงเทพฯ ต่อรถยนต์
เลือกได้ 5 วิธี งานเสร็จ)
เพราะฉะนั้นมีวิธีเดินทางทั้งหมด เท่ากับ 3 + (4 X 5) = 23 วิธี

แบบฝึกทักษะ ให้นักเรียนเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด

1. มีหีบอยู่ 5 ใบ วางเรียงเป็นแถว จะมีกี่วิธีที่จะนำลูกบอล 3 ลูก ใส่ลงในหีบทีละ 1 ลูกจนครบสามลูก
5
9
15
125

2. เด็กขายเคนจังต้องการส่งจดหมายไปญี่ปุ่นจำนวน 4 ฉบับ ในตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ ได้กี่วิธี ถ้าเขาต้องการให้มีจดหมายอย่างน้อย
2 ฉบับ อยู่ในตู้เดียวกัน
20
120
505
625

3. การนำตัวเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 มาสร้างเลข 3 หลัก ที่เป็นจำนวนบวก แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน มีกี่จำนวน
648
720
729
820

4. การใช้ตัวเลข 0,1,2,3,4,5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก ที่มีค่ามากกว่า 350 และตัวเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน มีกี่จำนวน
40
43
48
60

5. จัดคน 7 คนยืนเรียงแถว โดยให้นายสมหวังซึ่งเป็นคนหนึ่งในจำนวน 7 คนนั้นอยู่ตรงกลางเสมอ จะจัดได้กี่วิธี
720
540
240
120

6. การเล่นทายผลฟุตบอล ถ้าชนะจะได้ 1 บาท นายวัสนามีเงิน 1 บาท การเล่นจะยุติเมื่อเล่นครบ 5 ครั้ง หรือเมื่อเขาเสียเงินหมด
หรือชนะ 3 ครั้ง (มีเงิน 4 บาท) ผลการเล่นออกมาเสมอจะไม่อยู่ในเงื่อนไข จงหาจำนวนวิธีเล่นทั้งหมด
8
9
10
11

7. นายเอจะเดินทางจากยะลาไปกรุงเทพฯ โดยมียานพาหนะให้เลือก 3 ชนิด คือ รถยนต์ รถไฟ เครื่องบิน ถ้าโดยสารรถยนต์
จะมีรถให้เลือก 2 ชนิด คือ รถตู้กับรถบัส โดยสารรถไฟเลือกที่นั่งได้ 3 แบบ คือ ชั้น 1 ชั้น 2 และชั้น 3 โดยสารเครื่องบินมีให้
เลือก 2 แบบ คือ ชั้นธรรมดากับชั้นพิเศษ จงหาจำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดที่จะเดินทาง จากยะลาไปกรุงเทพฯ
36
18
12
7

8. รถยนต์ให้เช่าในจังหวัดยะลา นั่งข้างหน้าได้ 3 คน นั่งแถวหลังได้ 4 คน ถ้ามีผู้โดยสาร 7 คน จะนั่งรถได้กี่วิธี ถ้ามีผู้โดยสาร
คนหนึ่งขับรถไม่เป็น
720
2,160
2,880
4,320

9. ข้อทดสอบย่อยชุดหนึ่ง มี 5 ข้อ ซึ่งแต่ละข้อมี 4 ตัวเลือก จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียนคนหนึ่งทำผิดพลาดทุกข้อ ซึ่งนักเรียนคนนี้
ทำข้อสอบทุกข้อ
20
243
625
1024

10. นกจำนวน 4 ตัว ที่กำลังบินมา จะเลือกเกาะตันไม้ต้นหนึ่งที่มีกิ่งสาขาอยู่ 5 กิ่งได้กี่วิธี
9
20
625
1024