เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริมด้วยตนเอง)


วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
พิจารณาการจัดลำดับเป็นแนวตรง 4 วิธี ต่อไปนี้
ABCD        BCAD         CDAB        DABC
ถ้าจัดเป็นวงกลม ในลักษณะการวนจากขวาไปซ้ายทุกวง จะพบว่า ทั้ง 4 วงเหมือนกัน ซึ่งถือเป็น 1 วิธี

ตัวอย่าง การจัดอักษร 4 ตัว ABCD มาเรียงสับเปลี่ยนในเชิงเส้นตรง
จำนวนวิธีที่เรียงได้ = 4! = 24 วิธี ดังนี้
ABCD         BACD         CABD         DABC
ABDC         BADC         CADB         DACB
ACBD         BCAD         CBAD         DBAC
ACDB         BCDA         CBDA         DBCA
ADBC         BDAC         CDAB         DCAB
ADCB         BDCA         CDBA         DCBA

ถ้านำมา 24 แบบ ของการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 4 สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมดในเชิงเส้นตรง
จะเกิดแบบที่แตกต่างกัน 6 แบบในเชิงวงกลม = (4-1)! = 3! = 6 วิธี ดังนี้

แบบที่ 1     ABCD     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BCDA     CDAB     DABC
แบบที่ 2     ABDC     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BDCA     CABD     DCAB
แบบที่ 3     ACBD     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BDAC     CBDA     DACB
แบบที่ 4     ACDB     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BACD     CDBA     DBAC
แบบที่ 5     ADBC     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BCAD     CADB     DBCA
แบบที่ 6     ADCB     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BADC     CBAD     DCBA

พิจารณาตัวอย่าง การจัดอักษร 3 ตัว ABC เรียงสลับที่แนวเส้นตรง จะได้รูปในลักษณะแตกต่างกันทั้งหมด 6 วิธี ดังนี้
ABC      &nbspBCA      &nbspCAB        ACB         BAC        CBA

สรุปได้ว่า อักษร 3 ตัวเรียงเชิงเส้น ได้ทั้งหมด 6 วิธี ซึ่งเท่ากับ 3! วิธี

แต่ถ้านำมาเรียงเป็นวงกลม จะพบว่า ABC = BCA = CAB เป็นวงเดียวกัน (การสังเกต ให้เขียนอยู่ในลักษณะวงกลม แล้ววนไปทิศทางเดียวกัน)
                          และ ACB = BAC = CBA เป็นวงเดียวกัน
เพราะฉะนั้นจัดนั่งเป็นวงกลมได้ทั้งหมด 2 วิธี ซึ่งเท่ากับ (3-1)! หรือคิดได้อีกวิธีหนึ่ง ในการจัดเรียงแบบวงกลมได้ = 2 วิธี

 


สรุปได้ว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรง = n!
            วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเชิงวงกลม = (n-1)!
            วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง มาจัดเรียงกันเพียง r สิ่ง ( r£n )     =    


ตัวอย่างที่ 1     จัดกระถางดอกไม้ 7 กระถางต่างชนิดกันทุกกระถาง วางรอบเสาธงได้กี่วิธี
                      มีวิธีจัดได้ =     ( 7-1 ) !     = 6!     = 720 วิธี

ตัวอย่างที่ 2     นักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ยืนสลับเรียงกันเป็นวงกลม ได้ทั้งหมดกี่วิธี
              กำหนดให้ชายอยู่กับที่ ( ไม่ต้องจัด )       ฉะนั้นเหมือนกับวงกลมถูกตัดออก เรียงเป็นเชิงเส้น
              จัดได้ = ผู้ชาย 5!´ ผู้หญิง 6!        = 86,400 วิธี

ตัวอย่างที่ 3     มีของ 6 ชนิดแตกต่างกัน จะมีกี่วิธีที่จะนำของ 4 ชิ้น มาวางเรียงเป็นวงกลม
            จำนวนวิธีทั้งหมด = = 90 วิธี


วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เหมือนกันบางสิ่ง

ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง . . .
และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม k โดยที่ n1+n2+n3+. . . +nk = n
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ในแนววงกลม เท่ากับ วิธี
( กรณีที่ ห.ร.ม.ของ n1+n2+n3+. . . +nk=1 )

ตัวอย่าง งานวันเกิด ตกแต่งสถานที่ด้วยหลอดไฟ ซึ่งมีหลอดไฟสีแดงเหมือนกัน 2 หลอด หลอดไฟเหลืองเหมือนกัน 3 หลอด
หลอดสีน้ำเงินเหมือนกัน 4 หลอด นำหลอดไฟทั้งหมดมาประดับประดาบนฝาผนังเป็นรูปวงกลม จะได้วิธีจัดที่แตกต่างกันกี่วิธี
          ห.ร.ม. ของ 2, 3, 4 มีค่าเท่ากับ 1
          จำนวนวิธีที่จัดได้ = = 140 วิธี


วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเชิงวงกลมที่มี 3 มิติ (หยิบยกหรือมองได้สองด้าน)

การเรียงสิ่งของในลักษณะวงกลมบางอย่าง สามารถดูได้ 2 ด้าน เช่น การร้อยพวงมาลัย การร้อยพวงกุญแจ
การร้อยลูกปัด ฯลฯ การเรียงสิ่งของในลักษณะนี้ จะแตกต่างกับการเรียงเป็นวงกลมที่ดูได้ด้านเดียว เช่น เรียงอักษร กขค
ในลักษณะวงกลมที่ดูได้ด้านเดียว จะมีวิธีเรียงได้ 2 วิธี คือ กขค และ กคข
แต่ถ้าเรานำมาเรียงในลักษณะวงกลมที่ดูได้ 2 ด้าน จะเห็นว่า การมอง กขค ทั้ง 2 ด้าน เป็นวิธีเดียวกัน จึงอาจสรุปได้ว่า

มีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นำมาเรียงเป็นวงกลม โดยเป็นวงกลมที่สามารถหมุนดูได้ 2 ด้าน มีจำนวนวิธีเรียงสิ่งของได้วิธี

ตัวอย่าง มีดอกไม้ 7 ดอก ๆ ละสี จะมีวิธีนำดอกไม้ทั้ง 7 ดอกมาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลมได้กี่วิธี
จำนวนวิธีทาเป็นวงกลม = (7-1)! หารด้วย 2 = 360 วิธี

 


แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด


1.       นักเรียนชาย 6 คน นักเรียนหญิง 6 คน ยืนเรียงกันเป็นวงกลมได้กี่วิธี
12!
11!
5!6!
6!6!

2.ครอบครัวหนึ่ง พ่อ,แม่และลูก 4 คน จะมีวิธีนั่งโต๊ะอาหารวงกลมได้กี่วิธี ถ้าพ่อและแม่ต้องนั่งติดกันเสมอ
6
24
48
720

3.          มีหนังสือ 12 เล่ม มีคณิตศาสตร์ 2 เล่ม จะนำหนังสือทั้งหมดไปจัดนิทรรศการในตู้โดยวางเรียงเป็นวงกลม ให้หนังสือคณิตศาสตร์ทั้ง
              2 เล่ม อยู่ตรงข้ามกันเสมอได้กี่วิธี
2! 11!
2! 10!
11!
10!

4. จะมีวิธีจัดคน 8 คน นั่งรอบโต๊ะกลม 2 โต๊ะ โต๊ะละ 4 คนได้กี่วิธี
7!
7!/ 2
8!
2 X 7!

5.กิจกรรมลูกเสือหน่วยหนึ่ง 15 คน เล่นเกมนั่งเก้าอี้ดนตรี จัดเก้าอี้เป็นวงกลม 10 ตัว จะจัดลูกเสือเข้าเล่นได้กี่วิธี
15!
14!


6. จะจัดคน 6 คน นั่งโต๊ะกลม 2 ตัวๆละ 3 คนได้กี่วิธี
20
40
80
160

7.        การแสดงรำชนิดหนึ่ง ให้ผู้แสดงชาย 4 คน หญิง 4 คน โดยจัดให้ผู้แสดงยืนเป็นวงกลมซ้อนกัน 2 วง วงหนึ่งเป็นชายล้วน อีกวงหนึ่งเป็นหญิงล้วน
           วงละ 3 คน      จำนวนวิธีจัดผู้แสดงยืนเท่ากับกี่วิธี
8
16
64
128

8.       มีกระดาษแก้วสีอยู่ 3 สี สีแดง 5 แผ่น สีเหลือง 4 แผ่น สีน้ำเงิน 3 แผ่น จะนำกระดาษแก้วมาปิดหลอดไฟ นำไฟมาประดับลักษณะเป็นรูปวงกลม
           จะจัดได้แตกต่างกันกี่วิธี


3! 3! 4! 5!

9.        เด็กชายกำธรต้องการสร้างรั้วล้อมบริเวณคอกหมา ด้วยเศษไม้จำนวน 21 แผ่น ในลักษณะเป็นวงกลม โดยทาสีเขียว 7 แผ่น สีเหลือง 5 แผ่น สีแดง 9 แผ่น
           ได้จำนวนกี่วิธี
21!
(21-1)!


10. มีพระอยู่ 9 องค์ที่ต่างกัน นำมาแขวนบนสร้อยได้ทั้งหมดกี่วิธี
9!/ 2
8!/2
9!
8!

 


 

 คุณเข้ามาเยี่ยมชมอันดับที่
 



ตั้งแต่วัน
พุธที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2545
Copyright (c) 2005 www.thaigoodview.com. All rights reserved.

 


กลับไปยังหน้าหลัก