เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริมด้วยตนเอง)

ตัวอย่าง การจัดอักษร 4 ตัว ABCD มาเรียงสับเปลี่ยนในเชิงเส้นตรง
จำนวนวิธีที่เรียงได้ = 4! = 24 วิธี ดังนี้
ABCD         BACD         CABD         DABC
ABDC         BADC         CADB         DACB
ACBD         BCAD         CBAD         DBAC
ACDB         BCDA         CBDA         DBCA
ADBC         BDAC         CDAB         DCAB
ADCB         BDCA         CDBA         DCBA

ถ้านำมา 24 แบบ ของการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 4 สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมดในเชิงเส้นตรง
จะเกิดแบบที่แตกต่างกัน 6 แบบในเชิงวงกลม = (4-1)! = 3! = 6 วิธี ดังนี้

แบบที่ 1     ABCD     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BCDA     CDAB     DABC
แบบที่ 2     ABDC     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BDCA     CABD     DCAB
แบบที่ 3     ACBD     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BDAC     CBDA     DACB
แบบที่ 4     ACDB     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BACD     CDBA     DBAC
แบบที่ 5     ADBC     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BCAD     CADB     DBCA
แบบที่ 6     ADCB     ซึ่งเป็นแบบเดียวกับ     BADC     CBAD     DCBA

พิจารณาตัวอย่าง การจัดอักษร 3 ตัว ABC เรียงสลับที่แนวเส้นตรง จะได้รูปในลักษณะแตกต่างกันทั้งหมด 6 วิธี ดังนี้
ABC      &nbspBCA      &nbspCAB        ACB         BAC        CBA

สรุปได้ว่า อักษร 3 ตัวเรียงเชิงเส้น ได้ทั้งหมด 6 วิธี ซึ่งเท่ากับ 3! วิธี

แต่ถ้านำมาเรียงเป็นวงกลม จะพบว่า ABC = BCA = CAB เป็นวงเดียวกัน (การสังเกต ให้เขียนอยู่ในลักษณะวงกลม แล้ววนไปทิศทางเดียวกัน)
                          และ ACB = BAC = CBA เป็นวงเดียวกัน
เพราะฉะนั้นจัดนั่งเป็นวงกลมได้ทั้งหมด 2 วิธี ซึ่งเท่ากับ (3-1)! หรือคิดได้อีกวิธีหนึ่ง ในการจัดเรียงแบบวงกลมได้ = 2 วิธี

สรุปได้ว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรง = n!
            วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเชิงวงกลม = (n-1)!
            วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง มาจัดเรียงกันเพียง r สิ่ง ( r£n )     =    

ตัวอย่างที่ 2     นักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 6 คน ยืนสลับเรียงกันเป็นวงกลม ได้ทั้งหมดกี่วิธี
              กำหนดให้ชายอยู่กับที่ ( ไม่ต้องจัด )       ฉะนั้นเหมือนกับวงกลมถูกตัดออก เรียงเป็นเชิงเส้น
              จัดได้ = ผู้ชาย 5!´ ผู้หญิง 6!        = 86,400 วิธี

ตัวอย่างที่ 3     มีของ 6 ชนิดแตกต่างกัน จะมีกี่วิธีที่จะนำของ 4 ชิ้น มาวางเรียงเป็นวงกลม
            จำนวนวิธีทั้งหมด = = 90 วิธี

ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n₁ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n₂ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง . . .
และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม k โดยที่ n₁+n₂+n₃+. . . +n_k = n
จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ในแนววงกลม เท่ากับ วิธี
( กรณีที่ ห.ร.ม.ของ n₁+n₂+n₃+. . . +n_k=1 )

ตัวอย่าง งานวันเกิด ตกแต่งสถานที่ด้วยหลอดไฟ ซึ่งมีหลอดไฟสีแดงเหมือนกัน 2 หลอด หลอดไฟเหลืองเหมือนกัน 3 หลอด
หลอดสีน้ำเงินเหมือนกัน 4 หลอด นำหลอดไฟทั้งหมดมาประดับประดาบนฝาผนังเป็นรูปวงกลม จะได้วิธีจัดที่แตกต่างกันกี่วิธี
          ห.ร.ม. ของ 2, 3, 4 มีค่าเท่ากับ 1
          จำนวนวิธีที่จัดได้ = = 140 วิธี

การเรียงสิ่งของในลักษณะวงกลมบางอย่าง สามารถดูได้ 2 ด้าน เช่น การร้อยพวงมาลัย การร้อยพวงกุญแจ
การร้อยลูกปัด ฯลฯ การเรียงสิ่งของในลักษณะนี้ จะแตกต่างกับการเรียงเป็นวงกลมที่ดูได้ด้านเดียว เช่น เรียงอักษร กขค
ในลักษณะวงกลมที่ดูได้ด้านเดียว จะมีวิธีเรียงได้ 2 วิธี คือ กขค และ กคข
แต่ถ้าเรานำมาเรียงในลักษณะวงกลมที่ดูได้ 2 ด้าน จะเห็นว่า การมอง กขค ทั้ง 2 ด้าน เป็นวิธีเดียวกัน จึงอาจสรุปได้ว่า

มีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นำมาเรียงเป็นวงกลม โดยเป็นวงกลมที่สามารถหมุนดูได้ 2 ด้าน มีจำนวนวิธีเรียงสิ่งของได้วิธี

ตัวอย่าง มีดอกไม้ 7 ดอก ๆ ละสี จะมีวิธีนำดอกไม้ทั้ง 7 ดอกมาร้อยเป็นพวงมาลัยวงกลมได้กี่วิธี
จำนวนวิธีทาเป็นวงกลม = (7-1)! หารด้วย 2 = 360 วิธี

แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด