เรื่องความน่าจะเป็น

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริมด้วยตนเอง)


ความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6

แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย

ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ { 0 , 1 , 2 }
เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)
1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)    
2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน
เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์

คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน       E เป็นสับเซตของ S
ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้


ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2 ลูก
จงหาเหตุการณ์ที่จะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก
เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา
ดังนั้นเราให้ ข1 , ข2 , ข3 เป็นลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และ ด1 , ด2 เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก
แซมเปิลสเปซ S = { ข12 ,ข13 , ข11 ,ข12, ข23 , ข21 , ข22 , ข31 , ข32 , ด12 }
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
เหตุการณ์ A = { ข11 , ข12 , ข21 , ข22 , ข31, ข32 }


ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C
S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB }
E = { AB , AC }
P(E) =
นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =

ตัวอย่าง หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่องซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง 5
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ S = { (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3) ,(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) }
E1 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลที่มีหมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้ง 2 ลูก
E1 = { (2,4) }
E2 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคู่
E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
E3 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคี่
E3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
E4 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งหมายเลขเรียงกัน
E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
E1 U E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }
P(E1 U E2) =
E1 E2 = { (2,4) }
P(E1 E2) =
E3 U E4 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 U E4) =
E3 E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }
P( E3 E4) =
E1 - E2 = { }
P(E1 - E2) = 0
E2 - E1 = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E2 - E1 ) =
E4 ' = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)}
P(E4' ) =
E1' E3' = ( E1U E3 )'
E1U E 3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }
(E1U E3)'= { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
ดังนั้น E1' E3' = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }
P(E1'E3') =


ตัวอย่าง จะจัดนักเรียน 10 คน ซึ่งมีนายสาทิศกับนางสาวสุดาอยู่ด้วย ความน่าจะเป็นที่
ก. นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน
ข. นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน
ค. นายสาทิศอยู่หัวแถวและนางสาวสุดาอยู่ท้ายแถว
1) หา n(S) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ จัดได้ 10! วิธี
หา n(E) E นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน จัดได้ ( 9! X 2! )
P(E) = =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน เท่ากับ
2) หา n(E) ให้ E นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน จัดได้ 10! - (9! 2!) วิธี
P(E) = = 1 - =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกันเท่ากับ
3) หา n(E) ให้ E นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว จัดได้ 1 X 8! X 1 วิธี
P(E) = =
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว เท่ากับ


ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูกเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลอย่างสุ่มออกมา 2 ลูก
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
1) หา n(S) คือหาจำนวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการหยิบบอล 2 ลูกจาก 10 ลูก
จำนวนวิธีที่จะเกิดได้ = = 45 วิธี
2) หา n(E) E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน
กรณีที่ 1 สีแดงทั้งคู่ จำนวนวิธี = = 10 วิธี
กรณีที่ 2 สีน้ำเงินทั้งคู่ จำนวนวิธี = = 3 วิธี
กรณีที่ 3 สีเขียวทั้งคู่ จำนวนวิธี = 1 วิธี
n(E) จำนวนวิธีทั้งหมดที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วิธี
ความน่าจะเป็นที่ P(E) =


กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปช สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้
1. 0 P(A) 1
2. ถ้า A = { } แล้ว P(A) = 0 นั่นคือ P( { } ) = 0
3. ถ้า A = S แล้ว P(A) = 1 นั่นคือ P( S ) = 1

สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ
1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A B = { }
3. P(A) = 1 - P(A')
4. P(A-B) = P(A) - P(A B)


ตัวอย่าง กำหนดให้ P(A) = 0.6 P(B') = 0.4 และ P(A - B) = 0.2 จงหา P(A ' B')
จาก P(B' ) = 0.4
จะได้ว่า P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.4 = 0.6
จาก P(A) = 0.6 และ P(A - B) = 0.2
เนื่องจาก P(A) = P(A - B) + P(A B)
( ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู )
0.6 = 0.2 + P(A B)
P(A B) = 0.4
เนื่องจาก P(A' B') = P( A U B)'
= 1 - P(A U B)
จากสมบัติความน่าจะเป็น P(A' B') = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A B) ]
= 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8 = 0.2

ตัวอย่าง จากการสำรวจในหมู่บ้านหนึ่ง ได้ผลว่าความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยางเท่ากับ 0.5
ความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ขุดบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยาง
และมีบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.3 ถ้าเลือกครอบครัวขึ้นมา 1 ครอบครัวอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นของ
ครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา
ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยาง ดังนั้น P(A) = 0.5
B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวขุดบ่อเลี้ยงปลา ดังนั้น P(B) = 0.7
A B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยางและขุดบ่อเลี้ยงปลา

P(A B) = 0.3

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
= 0.5 + 0.7 - 0.3 = 0.9
ความน่าจะเป็นของครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา เท่ากับ 0.9

ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข
ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P(B) > 0 เขียน P(A/B) แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว
และให้ P(A/B) =
ถ้า P(B) = 0 ให้ P(A/B) = 0


ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหน้าน้อยกว่า 4 ถ้ารู้แล้วว่าขึ้นหน้าเลขคี่
ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่
A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าน้อยกว่า 4
A B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่ และน้อยกว่า 4
P(B) = =
เนื่องจากมี 1 และ 3 เท่านั้นที่เป็นเลขคี่ และน้อยกว่า 4
ดังนั้น P(A B) =
เพราะฉะนั้น P(A/B) ===


ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 3 ใบ และสีดำ 2 ใบ ถ้าหยิบลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินสีดำทั้งสองลูก

วิธีที่ 1 หยิบครั้งแรกมีวิธีเลือกได้ 5 วิธี ครั้งที่สองมีวิธีเลือก 4 วิธี

ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 5 X 4 = 20 วิธี
หยิบลูกหินสีดำครั้งแรกมี 2 วิธี ครั้งที่สองมี 1 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 2 X 1 = 2 วิธี
ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินดำทั้งคู่ โดยที่หยิบครั้งแรกแล้วไม่ใส่คืน เท่ากับ

วิธีที่ 2 ให้ A เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกแรกสีดำ และ

B เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกที่สองสีดำ
P(A) = =
P(B/A) = =
ดังนั้น P( B) = P(A) P(B/A)
= () () =


ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้น 4 , 5 หรือ 6 ในการทอดครั้งแรกและขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4 ในการทอดครั้งที่ 2

วิธีที่ 1 ให้ A เป็นเหตุการณ์ ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งแรก ขึ้น 4 , 5 หรือ 6

B เป็นเหตุการณ์ ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งที่สอง ขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4
ทอดครั้งแรกมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี ทอดครั้งที่สองมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี
ดังนั้น มีวิธีเกิดได้ทั้งหมด 6 X 6 = 36 วิธี
ทอดครั้งแรกได้เหตุการณ์ A มี 3 วิธี ทอดครั้งที่สองได้เหตุการณ์ B มี 4 วิธี
ดังนั้นทอดได้เหตุการณ์ A และ B มี 3 X 4 = 12 วิธี
เพราะฉะนั้น P(A B) = =
วิธีที่ 2 P(A) =
P(B/A) = P(B) =
P(A B) = P(A) P(B/A)
= () () =

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

พิจารณาในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน

นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A B) = P(A) P(B)

ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A/B) = P(A)

เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(B/A) = P(B)


ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 1 เป็น 5
B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 2 เป็น 5
จะได้ P(A) ==
และ P(B) ==
เนื่องจากการโยนลูกเต๋าแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเป็น 5 เท่ากับ
P(A B) = P(A) P(B)
= X =


ตัวอย่าง ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูก พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3
ให้ A แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว
B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3
จะได้ P(A) = และ P(B) = =
เนื่องจากการขึ้นของเหรียญและของลูกเต๋าเป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้น P(A B) = P(A) P(B)
= x =
เพราะฉะนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มน้อยกว่า 3 เท่ากับ

แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด


1. ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ขึ้นหัวหรือก้อยต่างกันเท่ากับเท่าไร




2. ครอบครัวหนึ่งต้องการมีบุตร 2 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดบุตรหญิงอย่างน้อย 1 คน




3. หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่องซึ่งมีลูกบอล 5 ลูก ลักษณะเหมือนกันทุกลูก เป็นสีแดง 2 ลูก สีดำ 2 ลูก และสีขาว 1 ลูก จงหา P(A U B) มีค่าเท่ากับข้อใด 5 ถ้าให้ A แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้สีแดงทั้ง 2 ลูก B แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้สีดำทั้ง 2 ลูก C แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้สีขาวทั้ง 2 ลูก และ D แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้สีแดงอย่างน้อย 1 ลูก
0



4. จากโจทย์ข้อ 3 จงหา P(A' B' C')
0



5. จะจัดนักเรียนชาย 5 คน และหญิง 4 คน เข้านั่งรอบโต๊ะกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ในการนั่งครั้งนี้ที่ไม่มีหญิงสองคนใดนั่งติดกัน




6. แก้วน้ำขนาดเท่าๆกัน 9 ใบ เป็นสีแดงเหมือนกัน 5 ใบ สีขาวเหมือนกัน 4 ใบ ถ้านำแก้วน้ำเหล่านี้มาเรียงเป็นแถวยาว ความน่าจะเป็นที่แก้วน้ำสีแดงอยู่หัวและท้ายแถวมีค่าเท่าใด




7. ร้านค้าแห่งหนึ่งต้องการพนักงานขายของหน้าร้าน 3 คน มีผู้มาสมัคร 12 คน เป็นชาย 5 คน หญิง 7 คน โอกาสที่จะได้พนักงานเป็นชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับเท่าใด




8. กำหนดให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ โดยที่ P(A) = 0.5 , P(A U B) = 0.75 , P(B') = 0.625 จงหา P(B U A')

0.5
0.75
0.625
0.25

9. โรงเรียนแห่งหนึ่งสำรวจพบว่า มีนักเรียนป่วยเป็นโรคหืดหรือหอบ 60 % ป่วยเป็นโรคหืด 41 % ป่วยเป็นโรคหอบ 28 % ถ้าเราเลือกคนไข้มา 1 คนอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนป่วยรายนี้ป่วยเป็นโรคหืดเพียงอย่างเดียว
0.09
0.32
0.50
0.90

10.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีดำ 4 ลูก และสีแดง 3 ลุก สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้ 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลซึ่งไม่ใช่สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก มีค่าเท่ากับเท่าใด
5/33
10/33
28/33
ไม่มีข้อใดถูก


 คุณเข้ามาเยี่ยมชมอันดับที่
 



ตั้งแต่วัน
พุธที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2545
Copyright (c) 2005 www.thaigoodview.com. All rights reserved.


กลับไปยังหน้าหลัก