เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรง

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริม)


วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด


พิจารณาคน 3 คน คือ ก ข ค ยืนเรียงเป็นแถวตรง จะได้ดังนี้

กขค     กคข       ขกค     ขคก     คกข     คขก       เป็นจำนวนทั้งหมด 6 วิธี


โดยอาศัยกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ทำได้ดังนี้
การจัดตำแหน่ง     ตำแหน่งที่ 1     ตำแหน่งที่ 2     ตำแหน่งที่ 3
แต่ละตำแหน่งเลือกได้      3 X 2 X1 = 6 วิธี
          เขียนอยู่ในรูปแฟกทอเรียลได้  :  :  :   3!

ทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

จำนวนวิธีจัดสิ่งของ 4 สิ่งที่แตกต่างกันเรียงทั้ง     4     สิ่งจะได้       4!   วิธี
                   
จำนวนวิธีจัดสิ่งของ 5 สิ่งที่แตกต่างกันเรียงทั้ง     5     สิ่งจะได้       5!   วิธี

สรุปได้ว่า สิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกัน ต้องการนำมาเรียงเป็นเส้นตรงทั้งหมด จะมีตำแหน่งให้จัดเรียงได้ แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ n! หรือ เขียนแทนด้วย Pn, n
จะได้ว่า Pn, n = = n!


ตัวอย่าง นำนักเรียน 3 คน A , B , C ให้มายืนถ่ายรูป จะได้รูปต่างๆกันกี่รูป มีวิธีคิดได้หลายวิธีดังนี้

วิธีที่ 1       ใช้วิธีแจกแจง

ABC         BCA         CAB         ACB         BAC       CBA


วิธีที่ 2       กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น

ตำแหน่ง 1   X     ตำแหน่ง 2     X   ตำแหน่ง 3


                  แต่ละตำแหน่งมีวิธีเลือกได้ จำนวนวิธีทั้งหมด       =         3 X 2 X 1      =       6      วิธี


วิธีที่ 3       ใช้กฎ n!

จำนวนวิธีทั้งหมด         =         3!         =         6 วิธี

วิธีที่ 4       ใช้สูตร Pn, n
P3,3 =                 วิธี


วิธีเรียงสับเปลี่ยนในเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งมาจัดเรียงเพียง r สิ่ง
( เมื่อ r น้อยกว่าหรือเท่ากับ   n)


              จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง

Pn , r =   (เมื่อ r น้อยกว่าหรือเท่ากับn)

ตัวอย่าง นักเรียน 4 คน ให้มาถ่ายรูปครั้งละ 2 คน ได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีที่ 1     แจกแจงการยืนของนักเรียน 4 คน   A   B   C   D   จะได้ดังนี้

A B             BC             C D             D A
A C             BD             C B             D B
A D             B A             C A             D C


จัดได้ทั้งหมด 12 วิธี


วิธีที่ 2
กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น             ตำแหน่ง1   X   ตำแหน่ง2
            แต่ละตำแหน่งมีวิธีเลือกได้  จำนวนวิธีทั้งหมด   =   4   X   3   =   12   วิธี


วิธีที่ 3

ใช้สูตร Pn,r =
จำนวนวิธีทั้งหมด = = = 12 วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด ( เหมือนกันบางสิ่ง )


        การเรียงสับเปลี่ยนสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดจะเริ่มจากการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดก่อน แล้วจึงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่เหมือนกันบางสิ่ง ดังนี้

ตัวอย่าง การเรียงลำดับอักษร 3 ตัว ABC มาเรียงเชิงเส้นตรง จะได้ 3! = 6 วิธี ดังนี้

ABC             ACB             BAC             BCA             CAB             CBA

ถ้าให้อักษรเหล่านี้บางตัวซ้ำกัน เช่น เปลี่ยนตัวอักษร C เป็น B
จะได้เป็น             ABB             ABB             BAB             BBA             BAB             BBA
จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน จะเหลือเพียง 3 วิธีเท่านั้นคือ             ABB             BAB             BBA

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 3 สิ่ง ซึ่งมี 2 สิ่งใน 3 สิ่ง เหมือนกัน จัดได้    =    3! X 2!        = 3    วิธี

แนวคิดดังกล่าว อาจสรุปเป็นกฎได้ดังนี้
ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n2 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง ...และมี nk สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม k โดยที่ n1+n2+n3+... nk = n จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ในแนวเส้นตรง เท่ากับ วิธี


ตัวอย่าง ถ้ามีเหรียญ 1 บาท 4 อัน เหรียญ 5 บาท 3 อัน จะแจกเงินให้เด็ก 7 คน คนละ 1 เหรียญ จะมีวิธีแจก เพื่อให้เด็กได้รับเงินที่มีค่าแตกต่างกันได้กี่วิธี
เหรียญทั้งหมด 7 เหรียญ มีเหรียญหนึ่งบาท 4 อัน เหรียญห้าบาท 3 อัน
เด็กทั้ง 7 คนจะได้รับเงินที่แตกต่างกัน       =             =       35       วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่คู่กัน แล้วไม่ตรงคู่ (ไม่มีในเนื้อหา ค 016 แต่มีในข้อสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัย)


ตัวอย่างที่ 1 สามีภรรยา 2 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ A กับ B         หญิง คือ 1 กับ 2
สามีภรรยาคู่ที่หนึ่งคือ A1         คู่ที่สอง B2
จะไม่ตรงคู่สามีภรรยากันได้ 1 วิธี โดยสลับคู่กันคือ A เต้นกับ 2         B เต้นกับ 1

ตัวอย่างที่ 2     สามีภรรยา 3 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ     A     B     C         หญิง คือ     1     2     3
A เลือกได้     2     วิธี และ B เลือกได้     1     วิธี และ C เลือกได้     1     วิธี
A2         B3         C1
A3         B1         C2         เพราะฉะนั้น จะได้ 2 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 < สามีภรรยา 4 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ       A       B       C       D
หญิง คือ 1       2       3       4
สามารถแจกแจงเป็นแผนภาพต้นไม้ ได้ทั้งหมด 9 วิธี ดังนี้

A 2       B 1       C 4       D 3
A 2       B 3       C 4       D 1
A 2       B 4       C 1       D 3
A 3       B 1       C 4       D 2
A 3       B 4       C 1       D 2
A 3       B 4       C 2       D 1
A 4       B 1       C 2       D 3
A 4       B 3       C 1       D 2
A 4       B 3       C 2       D 1

ถ้าจำนวนคู่สามีภรรยามากขึ้น ก็จะยิ่งยากในการที่จะเขียนแผนภาพ ให้ได้คำตอบออกมา จึงใช้สูตรดังนี้
สามีภรรยา n คู่ จับคู่พร้อมกันหมด ซึ่งชายจับคู่กับหญิง
โดยไม่ตรงคู่สามีภรรยาคู่ใดเลย จะได้
สามีภรรยา 4 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยา
ใช้สูตร    จะได้ต่างกัน 9 วิธี

แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด


1. นักเรียน 5 คน นั่งสอบซ่อมที่จัดเรียงเป็นแถวได้กี่วิธี
5!
5 X 5 X 5 X 5
240
360

2.จะมีกี่วิธีที่แตกต่างกัน ในการใช้สี 6 สี ทาลูกเต๋าหน้าละสี
30
120
260
720

3. มีบัตร 4 ใบ มีหมายเลข 1,2,3,4 ตามลำดับ นำบัตรทั้ง 4 ใบมาเรียงเป็นแถว จงหาผลรวมของหมายเลขบนบัตรที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด
120
240
360
400

4. นักเรียนสมัครเล่นตะกร้อ 6 คน ครูผู้สอนต้องการจัดเป็นทีมทีมละ 3 คน โดยมีมือหนึ่ง มือสอง มือสาม จัดได้ทั้งหมดกี่วิธี
120
216
360
720

5.จัดคน 3 คน นั่งเก้าอี้เรียงเป็นแถวยาว 10 ตัว ได้กี่วิธี โดยที่คนทั้ง 3 ต้องนั่งติดกันทั้ง 3 คน
8
24
48
72

6. เลขจำนวน 2,422,544 จะนำตัวเลขทุกตัวมาเขียนได้กี่จำนวนที่แตกต่างกัน
7!
3!3!
140
560

7.มีหนังสือคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน 4 เล่ม เคมีเหมือนกัน 3 เล่ม ชีววิทยาเหมือนกัน 2 เล่ม จะมีกี่วิธีจะจัดหนังสือเหล่านี้เรียงบนชั้นเป็นแถว โดยที่ให้หนังสือวิชาเดียวกันอยู่หัวและท้ายของชั้น
350
300
270
210

8ในการโยนเหรียญ 1 อัน 4 ครั้ง จำนวนวิธีที่จะเกิดหัว 2 ครั้งและก้อย 2 ครั้ง มีกี่วิธี
4
6
8
12

9. มีชาย 5 คน และหญิง 4 คน นำมาจัดยืนเรียงเป็นแถว โดยไม่ให้มีหญิง 2 คนใดยืนติดกัน จะจัดได้กี่วิธี
60 X 6!
60
360
120 X 6!

10. สามีภรรยา 5 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด ชายเต้นกับหญิง จะมีกี่วิธีที่คู่สามีภรรยาไม่ตรงคู่กันเลย
10
22
44
120


 คุณเข้ามาเยี่ยมชมอันดับที่
 



ตั้งแต่วัน
พุธที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2545
Copyright (c) 2005 www.thaigoodview.com. All rights reserved.


กลับไปยังหน้าหลัก