เรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรง

(สำหรับเรียนด้วยตนเอง - ทบทวน - ฝึกทักษะ - ค้นคว้า - เรียนซ่อมเสริม)

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

พิจารณาคน 3 คน คือ ก ข ค ยืนเรียงเป็นแถวตรง จะได้ดังนี้

กขค     กคข       ขกค     ขคก     คกข     คขก       เป็นจำนวนทั้งหมด 6 วิธี

โดยอาศัยกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ทำได้ดังนี้
การจัดตำแหน่ง     ตำแหน่งที่ 1     ตำแหน่งที่ 2     ตำแหน่งที่ 3
แต่ละตำแหน่งเลือกได้      3 X 2 X1 = 6 วิธี
          เขียนอยู่ในรูปแฟกทอเรียลได้  :  :  :   3!

ทำนองเดียวกัน จะได้ว่า

จำนวนวิธีจัดสิ่งของ 4 สิ่งที่แตกต่างกันเรียงทั้ง     4     สิ่งจะได้       4!   วิธี
                   

จำนวนวิธีจัดสิ่งของ 5 สิ่งที่แตกต่างกันเรียงทั้ง     5     สิ่งจะได้       5!   วิธี

สรุปได้ว่า สิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกัน ต้องการนำมาเรียงเป็นเส้นตรงทั้งหมด จะมีตำแหน่งให้จัดเรียงได้ แตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ n! หรือ เขียนแทนด้วย Pn, n
จะได้ว่า Pn, n = = n!

วิธีที่ 1       ใช้วิธีแจกแจง

ABC         BCA         CAB         ACB         BAC       CBA

วิธีที่ 2       กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น

ตำแหน่ง 1   X     ตำแหน่ง 2     X   ตำแหน่ง 3

                  แต่ละตำแหน่งมีวิธีเลือกได้ จำนวนวิธีทั้งหมด       =         3 X 2 X 1      =       6      วิธี

วิธีที่ 3       ใช้กฎ n!

จำนวนวิธีทั้งหมด         =         3!         =         6 วิธี

---

วิธีที่ 4       ใช้สูตร Pn, n

P3,3 =                 วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยนในเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งมาจัดเรียงเพียง r สิ่ง
( เมื่อ r น้อยกว่าหรือเท่ากับ   n)

              จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดทีละ r สิ่ง

Pn , r =   (เมื่อ r น้อยกว่าหรือเท่ากับn)

ตัวอย่าง นักเรียน 4 คน ให้มาถ่ายรูปครั้งละ 2 คน ได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีที่ 1     แจกแจงการยืนของนักเรียน 4 คน   A   B   C   D   จะได้ดังนี้

A B             BC             C D             D A
A C             BD             C B             D B
A D             B A             C A             D C

จัดได้ทั้งหมด 12 วิธี

กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น             ตำแหน่ง1   X   ตำแหน่ง2
            แต่ละตำแหน่งมีวิธีเลือกได้  จำนวนวิธีทั้งหมด   =   4   X   3   =   12   วิธี

วิธีที่ 3

ใช้สูตร Pn,r =

จำนวนวิธีทั้งหมด = = = 12 วิธี

---

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด ( เหมือนกันบางสิ่ง )

        การเรียงสับเปลี่ยนสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมดจะเริ่มจากการหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดก่อน แล้วจึงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่เหมือนกันบางสิ่ง ดังนี้

ตัวอย่าง การเรียงลำดับอักษร 3 ตัว ABC มาเรียงเชิงเส้นตรง จะได้ 3! = 6 วิธี ดังนี้

ABC             ACB             BAC             BCA             CAB             CBA

ถ้าให้อักษรเหล่านี้บางตัวซ้ำกัน เช่น เปลี่ยนตัวอักษร C เป็น B

จะได้เป็น             ABB             ABB             BAB             BBA             BAB             BBA

จำนวนวิธีที่แตกต่างกัน จะเหลือเพียง 3 วิธีเท่านั้นคือ             ABB             BAB             BBA

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 3 สิ่ง ซึ่งมี 2 สิ่งใน 3 สิ่ง เหมือนกัน จัดได้    =    3! X 2!        = 3    วิธี

แนวคิดดังกล่าว อาจสรุปเป็นกฎได้ดังนี้
ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนี้มี n1 สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่หนึ่ง มี n₂ สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่มที่สอง ...และมี n_k สิ่งที่เหมือนกันเป็นกลุ่ม k โดยที่ n₁+n₂+n₃+... n_k = n จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n สิ่ง ในแนวเส้นตรง เท่ากับ วิธี

เหรียญทั้งหมด 7 เหรียญ มีเหรียญหนึ่งบาท 4 อัน เหรียญห้าบาท 3 อัน

เด็กทั้ง 7 คนจะได้รับเงินที่แตกต่างกัน       =             =       35       วิธี

---

วิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของที่คู่กัน แล้วไม่ตรงคู่ (ไม่มีในเนื้อหา ค 016 แต่มีในข้อสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัย)

ตัวอย่างที่ 1 สามีภรรยา 2 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ A กับ B         หญิง คือ 1 กับ 2

สามีภรรยาคู่ที่หนึ่งคือ A1         คู่ที่สอง B2

จะไม่ตรงคู่สามีภรรยากันได้ 1 วิธี โดยสลับคู่กันคือ A เต้นกับ 2         B เต้นกับ 1

ตัวอย่างที่ 2     สามีภรรยา 3 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ     A     B     C         หญิง คือ     1     2     3

A เลือกได้     2     วิธี และ B เลือกได้     1     วิธี และ C เลือกได้     1     วิธี

A2         B3         C1

A3         B1         C2         เพราะฉะนั้น จะได้ 2 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 < สามีภรรยา 4 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยากันเลย จะได้ต่างกันกี่วิธี

ให้ ชาย คือ       A       B       C       D

หญิง คือ 1       2       3       4

สามารถแจกแจงเป็นแผนภาพต้นไม้ ได้ทั้งหมด 9 วิธี ดังนี้

A 2       B 1       C 4       D 3
A 2       B 3       C 4       D 1
A 2       B 4       C 1       D 3
A 3       B 1       C 4       D 2
A 3       B 4       C 1       D 2
A 3       B 4       C 2       D 1
A 4       B 1       C 2       D 3
A 4       B 3       C 1       D 2
A 4       B 3       C 2       D 1

ถ้าจำนวนคู่สามีภรรยามากขึ้น ก็จะยิ่งยากในการที่จะเขียนแผนภาพ ให้ได้คำตอบออกมา จึงใช้สูตรดังนี้

สามีภรรยา n คู่ จับคู่พร้อมกันหมด ซึ่งชายจับคู่กับหญิง

โดยไม่ตรงคู่สามีภรรยาคู่ใดเลย จะได้

สามีภรรยา 4 คู่ จับคู่เต้นรำพร้อมกันหมด โดยชายเต้นกับหญิง ให้ไม่ตรงคู่สามีภรรยา

ใช้สูตร    จะได้ต่างกัน 9 วิธี

---

แบบฝึกทักษะ จงเลือกข้อความที่ถูกต้องที่สุด