ตรีโกณมิติ ม.5

รูปภาพของ swr07938


 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ม.5)

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุมซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ใน ลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180 องศา เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine) sin
โคไซน์ (Cosine) cos
แทนเจนต์ (Tangent) tan
โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot
ซีแคนต์ (Secant) sec
โคซีแคนต์ (Cosecant) csc (หรือ cosec)

 นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

tri1

 
จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม
csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด
sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม
cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด


การหาอัตราส่วนโดยใช้ทฤษฎีปีทาโกรัส

 tri2

ในการอัตราส่วนตรีโกณมิตินอกจากหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วยังสามารถหาความสัมพันธ์ของด้านและมุมได้ดังนี้|

tri3

 
นอกจากอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 3 อัตราส่วนที่กล่าวมาแล้วยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 3 อัตราส่วน ซึ่งกำหนดโดยนิยามดังนี้

 tri4

ตัวอย่างนะคะ่

tri5
 
 นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

tri6

อัตราส่วนตรีโกณมิติ 30 องศา 40 องศา และ 50 องศา

ในสมัยกรีกโบราณ ทอเลมี (Ptolemy : ประมาณปี ค.ศ. 200) ได้สร้างตารางแสดงอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีค่าคงตัวไว้ ดังนี้

tri7
   

โจทย์ปัญหา

1.  

ถ้า 1-

cot⁡〖20°〗

=

x/(1-cot⁡〖25°〗 )


x = (1-

cot⁡〖20°〗) (

1-

cot⁡〖25°〗)

x = 1-

cot⁡〖25°〗

-

cot⁡〖20°〗

+

cot⁡〖20°〗

cot⁡〖25°〗

จากสูตร tan(A+B) =

(tan⁡A+tan⁡B)/(1-tan⁡A  tan⁡B )

; 1 =

(tan⁡〖20°〗+tan⁡〖25°〗)/(1-tan⁡〖20°  tan⁡〖25° )

1-

tan⁡〖20°〗  tan⁡〖25°〗

=

tan⁡〖20°+tan⁡〖25°〗

1-

1/cot⁡〖20°〗  x 1/cot⁡〖25°〗 =1/cot⁡〖20°〗 +1/cot⁡〖25°〗

 :

cot⁡〖20°〗  cot⁡〖25°〗  คุณทั้งสมการ


cot⁡〖20°〗  cot⁡〖25°〗-1=

cot⁡〖25°〗+cot⁡〖20°〗

-cot⁡〖25°〗-cot⁡〖20°〗+cot⁡〖20°〗  cot⁡〖25°〗

= 1

แทนใน x = 1-

cot⁡〖25°〗

-

cot⁡〖20°〗

+

cot⁡〖20°〗

cot⁡〖25°〗

; x = 1+1

ดังนั้น x = 2 



2. 

ถ้า

sin〗^2⁡3A/(〖sin〗^2 A)-(〖cos〗^2 3A)/(〖cos〗^2 A)=2

จะได้

((sin〗⁡3A  cos⁡A)〗^2-〖(cos〗⁡3A  sin⁡A)〗^2)/(〖sin〗^2 A 〖cos〗^2 A)

= 2

(

sin⁡3A  cos⁡A-cos⁡3A  sin⁡A

)x(

sin⁡3A  cos⁡A+cos⁡3A  sin⁡A

จากสูตร sin(A-B) =

sin⁡A  cos⁡B-cos⁡A  sin⁡B

และ

           sin(A+B) =

sin⁡A 
cos⁡B
+cos⁡A  sin⁡B

=

sin⁡〖(3A-A)〗 x sin⁡〖(3A+A)〗

=

sin⁡2A x sin⁡4A

แทนได้

(sin⁡2A  sin⁡4A)/(〖sin〗^2 A 〖cos〗^2 A)

 จากสูตร

sin⁡2θ=2 sin⁡θ  cos⁡θ

(〖(sin〗⁡〖2A)〗〗^2 2 cos⁡2A)/(〖sin〗^2 A 〖cos〗^2 A)=2

;

((4 〖sin〗^2⁡A  〖cos〗^2⁡〖A 〗 x 2 cos⁡2A)/(〖sin〗^2 A
〖cos〗^2 A
)=2

ดังนั้น cos⁡2A = 1/4  ตอบ 1) 


3. 

จากสูตร

sin⁡〖(90°-θ〗)=cos⁡θ

 นำ

sin⁡〖89°〗  มาแทนในสูตร

;

〖sin⁡〖89°〗=sin〗⁡〖(90°-1°)=cos⁡〖1°〗

or

-cos〗⁡〖1°〗 (จากโจทย์)

จากโจทย์ จะได้ 

-(〖sin〗^2 1°+〖cos〗^2 1°)

 

จากสูตร

sin〗^2 θ+〖cos〗^2 θ=1

;

-1+〖sin〗^2 2°-〖sin〗^2 3°+…-〖sin〗^2 89°+〖sin〗^2 90°

เมื่อทำแบบวิธีด้านบนจนเหลือ -

sin〗^2 45°

และ

sin〗^2 90°

;

-1+1-1…-sin〗^2 45°+…+sin〗^2 90°


คำนวน จนเหลือ 0-

sin〗^2 45°+sin〗^2 90°

=〖-(1/√2)" " 〗^2+1^2=1/2  or 0.5 


4. 

จากสูตร

tan〗^2⁡〖2θ=〖((2
tan⁡θ)/(1-〖tan〗^2 θ)
)〗^2 〗

;

(4〖tan〗^2 θ)/〖〖(1-tan〗^2 θ)〗^2

ดังนั้นเราจึงหา

tan〗^2 θ

ก่อน

จากโจทย์แทนสูตร

csc⁡θ=1/sin⁡θ ,sec⁡θ=1/cos⁡θ ,cot⁡θ=1/tan⁡θ

;

1/(〖tan〗^2 θ)+〖tan〗^2 θ+〖csc〗^2 θ+〖sec〗^2 θ=7


จากสูตร

csc〗^2 θ=〖cot〗^2 θ+1 or 
1/(〖tan〗^2 θ)+1


จากสูตร

sec〗^2 θ=〖tan〗^2 θ+1  จากโจทย์จะได้


2(1/(〖tan〗^2 θ))+2〖tan〗^2 θ+2=7


ให้

tan〗^2 θ=A ;〖2A〗^2-5A+2=0


(2A-1)(A-2) 

 

∴A=1/2,2                                                                                               

เมื่อนำ

tan〗^2 θ=1/2,2 ไปแทนใน (4〖tan〗^2 θ)/〖〖(1-tan〗^2 θ)〗^2

 = 8

ตอบ 8 



5. 

จากสูตร

sec〗^2 x-〖tan〗^2 x=1 ;〖(sec〗⁡〖x-tan⁡〖x)(sec⁡〖x+tan⁡x)〗
〗 〗

จากโจทย์

(sec〗⁡〖x+tan⁡x)=A ; (sec⁡〖x-tan⁡x 〗 )A=1