การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

รูปภาพของ bp26465

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์         คือการเคลื่อนที่ในแนวโค้งพาราโบลา ซึ่งเกิดจากวัตถุได้รับความเร็วใน 2 แนวพร้อมกัน คือ ความเร็วในแนวราบและความเร็วในแนวดิ่ง ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  ได้แก่ ดอกไม้ไฟ น้ำพุ การเคลื่อนที่ของลูกบอลที่ถูกเตะขึ้นจากพื้น การเคลื่อนที่ของนักกระโดดไกล  

กาลิเลโอ ป็นคนแรกที่อธิบายการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ได้อย่างละเอียด เขาได้อธิบายว่าถ้าจะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโพรเจกไทด์ได้อย่างละเอียดนั้น ต้องแยกศึกษาส่วนประกอบในแนวราบ และ ในแนวดิ่งอย่างอิสระไม่เกี่ยวข้องกัน

นสมัยกรีกโบราณเชื่อตามทฤษฎีของอริสโตเติลที่ว่าถ้ายิงวัตถุจากปืนใหญ่ (ดังรูป) วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามแนวที่ยิง และวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่ให้จนกระทั่งความเร็วนั้นค่อย ๆ ลดลง จนเป็นศูนย์ แล้ววัตถุจะตกลงมาอย่างรวดเร็วที่ตำแหน่งนั้น

 

ต่อมาจากการสังเกตอย่างละเอียดของ Niccolo Tartaglia พบว่าอันที่จริงแล้วการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น แนวการเคลื่อนที่เป็นรูปโค้ง ในขณะนั้นไม่มีใครสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเพราะอะไร ต่อมากาลิเลโอได้อธิบายว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ เป็นการเคลื่อนที่ที่ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ในสองแนวไม่ใช่แนวเดียว โดยในแนวดิ่งจะมีแรงเนื่องจากแรงดึงดูดของโลกกระทำต่อวัตถุให้เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง  

  และในเวลาเดียวกับที่วัตถุถูกดึงลง โพรเจกไทล์ก้ยังคงเคลื่อนที่ตรงในแนวราบด้วย ( หลักความเฉื่อยของกาลิเลโอ Galilao's pricipal Inertia )เขาแสดงให้เห็นว่า โพรเจกไทล์นั้นได้ จะประกอบด้วยการเคลื่อนที่ 2 แนว พร้อม ๆกัน โดยในแต่ละแนวนั้นจะเคลื่อนที่อย่างอิสระไม่เกี่ยวข้องกัน    และยังพบว่าเส้นทางการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์จะเป็นรูปเรขาคณิต ที่เรียกว่า "พาราโบลา"

 พิจารณาในแนวดิ่ง  

   ในกรณีที่เราไม่คิดแรงต้านทานของอากาศ  วัตถุทุกชนิดที่อยู่บนโลกนี้ถ้าปล่อยจากที่สูงระดับเดียวกัน  วัตถุจะตกถึงพื้นในเวลาเท่ากัน   โดยไม่ขึ้นอยู่กับขนาด หรือน้ำหนักของวัตถุ (ดังรูป)

พิจารณาในแนวดิ่งและในแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

   พิจารณาวัตถุ 2 ก้อนที่ตกจากที่ระดับเดียวกัน โดยก้อนแรกปล่อยให้เคลื่อนที่ลงในแนวดิ่งอิสระ ก้อนที่ สอง เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะเห็นว่าวัตถุทั้งสองจะตกถึงพื้นดินพร้อมกัน

(ดังรูป)

พิจารณาการเคลื่อนในแนวดิ่ง แนวราบ และในแนวโพรเจกไทล์   

 พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ มีการเคลื่อนที่ 3 แนวพร้อมกัน คือ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งอิสระ  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  และการเคลื่อนที่ในแนวราบ   จะเห็นว่าวัตถุจะตกถึงพื้นพร้อมกัน  นั่นคือเวลาที่ใช้จะเท่ากันทุกแนว (ดังรูป)

หลักการคำนวณเกี่ยวกับ โพรเจคไทล์ในแนวดิ่ง

 อาศัยการแยกความเร็วของวัตถุออกในแนวราบและในแนวดิ่ง แล้วคำนวณหาค่าต่าง ๆ ที่ต้องการทราบโดยไม่คิดเรื่องแรงต้าน หรือแรงลอยตัวของอากาศ แล้วพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงแต่ละแกน โดย

                                  

และ       

         การกระจัด ความเร็ว   ขณะเวลาใด ๆ หาได้จากผลบวกของเวคเตอร์ในแนวราบและแนวดิ่งขณะนั้น ๆ

                                   

และ    

ปริมาณต่าง ๆที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ในแนวราบ หรือในแนวดิ่ง หาได้จากสมการ

     

    

การคำนวณหาค่าต่าง ๆ  ใช้สมการเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง ดังกล่าวข้างต้น แนวการเคลื่อนที่(ดูจากรูป

  ก. หาระยะสูงสุดของวัตถุจากจุดเริ่มต้น (H)

                พิจารณาแนวดิ่ง;  จากสมการ        

             

                                                               

 

                                                            

    

                                                               

   

 ข. หาเวลา

ที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ถึงจุดสูงสุด

                พิจารณาแนวดิ่ง;  จากสมการ     

                ที่จุดสูงสุด ความเร็วในแนวดิ่ง  

                                                                

 

                                                                

               bullet05_fire.gif  

                เวลาที่วัตถุอยู่ในอากาศทั้งหมด  =  2

 =  

        aniberry01_red.gif  

  ค. หาระยะทางในแนวราบที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ไกลที่สุด  

                 พิจารณาในแนวราบ ; จากสมการ    

 

                                                                        

                                                                       

 

                                                                       

         aniheart_pink.gif

การคำนวณเมื่อเกี่ยวข้องกับมวลและแรง

วิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุมวล  

  ที่ถูกยิงออกไปด้วยความเร็วต้น

 ทำมุม

กับแนวระดับ ที่ระดับความสูง

เมื่อไม่คิดแรงพยุง หรือแรงต้านของอากาศ

   ก. วัตถุมีความเร็วต้น

ในแนวราบ (

)  

          วัตถุมวล  

ที่ถูกยิงออกไปด้วยแรง  

    ทิศลงในแนวดิ่ง พิจารณาจากการเคลื่อนที่ในแนวราบ-แนวดิ่ง

แนวราบ     

   ดังนั้น     

  วัตถุมีความเร็วในแนวราบคงที่

แแนวดิ่ง    

 ดังนั้นวัตถุมีความเร่งคงที่   

และมีความเร็วต้นในแนวดิ่ง  

วัตถุมีความเร็วในแนวราบ   

 และความเร็วในแนวดิ่ง

พร้อมกันทำให้วัตถุเคลื่อนที่ในแนวโค้ง (แบบโพรเจกไทล์) (ดังรูป)

 ความเร็ว  

ของวัตถุขณะเวลาใด ๆ

 หาได้จาก

      

หรือ                                                                

             ...........aniapple_red.gif

การกระจัด

จากจุดเริ่มต้น  0 ขณะเวลาใด ๆ

หาได้จาก

หรือ                                                              

           ..................anistar_yellow.gif

เวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด หาได้จาก  

    

             กรณียิงวัตถุในแนวระดับด้วยความเร็วต้นต่างกัน  

 แนวการเคลื่อนที่จะเป็นดังรูป (ข) แต่ความเร็วในแนวดิ่ง

ขณะเวลาใด ๆ

เท่ากัน ตกถึงพื้นพร้อมกัน ใช้เวลาเท่ากัน แต่กระทบพื้นตำแหน่งต่างกัน                    

ข. วัตถุมีความเร็วต้น

 ทำมุมก้มกับแนวระดับ  

แตกความเร็ว

ออกในแนวราบ  

 และในแนวดิ่ง  

 (ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเร็วในแนวราบคงที่  

ในแนวดิ่ง   

 ดังนั้น

ความเร็วในแนวดิ่งขณะใด ๆ

แตกความเร็ว

ออกในแนวราบ  

 และในแนวดิ่ง  

 (ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเร็วในแนวราบคงที่  

ในแนวดิ่ง   

 ดังนั้น

ความเร็วในแนวดิ่งขณะใด ๆ

  วัตถุมีความเร็วคงที่ในแนวราบ และมีความเร่งคงที่ในแนวดิ่ง   พร้อมกันในสองแนวแกน แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงเป็นเส้นโค้งแบบโพรเจคไทด์ (ดังรูป)

ขนาดของความเร็ว

และการกระจัด

ของวัตถุในเวลาใด ๆ

หาได้จาก

       

          

                       โดยที่                         

                      และ                             

เวลาที่วัตถุกระทบพื้น คิดได้จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ;

ค. วัตถุมีความเร็วต้น  

  ทำมุมเงย

แตกความเร็ว

ออกในแนวราบ  

 และในแนวดิ่ง  

(ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเร็วในแนวราบคงที่  

ในแนวดิ่ง   

 ดังนั้น

ความเร็วในแนวดิ่งขณะใด ๆ

ความเร็ว ณจุดสูงสุด

;

  ทิศทางทำมุม  

 กับแนวระดับ   ;      

  ขนาดของความเร็ว

และการกระจัด

ของวัตถุในเวลาใด ๆ

หาได้จาก

      

          

                       โดยที่                                             

                      และ                                                 

ทิศทางทำมุมกับแนวระดับ ;                                 

เวลาที่วัตถุกระทบพื้น คิดได้จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ;

สมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในแนวราบ

เนื่องจากในแนวราบวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอ   

ค่าคงที่   และ     a=0   ดังนั้นสมการที่เกี่ยวข้องจึงมีสมการเดียว คือ

    และ                  

                           

ในแนวดิ่ง

 เนื่องจากในแนวดิ่งวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ (g)

     

           

  

 

 และในการหาความเร็วในขณะใด ๆ หาได้จาก

                           

 การหาการกระจัดในเวลาใด ๆ หาได้จาก

                               

แบบฝึกหัด    

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

1.  ยิงกระสุนปืนมีความเร็ว  100 เมตร / วินาที  ทำมุม  60°  กับแนวระดับ  จงหา    
              
ก.      ระยะทางในแนวราบ
              
ข.      ระยะสูงที่สุดในแนวดิ่ง
              
ค.      ขนาดความเร็วและความสูงเมื่อเวลาผ่านไป  10  วินาทีหลังจากยิง        2.  ขว้างก้อนหินจากหน้าผาสูง  200  เมตรในแนวระดับด้วยความเร็ว4.0  เมตร / วินาที จงคำนวณหา
     
ก.      เวลาที่ก้อนหินตกถึงพื้น
     
ข.      ระยะทางที่ก้อนหินตกห่างเชิงผา
     
ค.      ความเร็วของก้อนหินขณะกระทบพื้น        3.  เครื่องบินทิ้งระเบิดกำลังบินในแนวระดับด้วยความเร็ว 180  กิโลเมตร / ชั่วโมงที่ความสูง  1.2  กิโลเมตร
               
ก.      จะต้องปลดระเบิดก่อนเครื่องบินอยู่เหนือเป้านานเท่าใด
               
ข.      ความเร็วของระเบิดขณะถึงเป้าหมายบนพื้นดิน
               
ค.      ระยะทางในแนวราบของลูกระเบิดขณะถึงพื้น       4.  เครื่องบินเครื่องหนึ่งบินไล่เรือตอร์ปิโด  ซึ่งวิ่งในแนวเดียวกัน  เครื่องบินบินในแนวระดับด้วยความเร็ว  120  เมตร / วินาที  สูง  500  เมตร  เรือตอร์ปิโดวิ่งด้วยความเร็ว  25  เมตร / วินาทีถ้านักบินต้องการทิ้งระเบิดให้ถูกเรือ  เขาจะต้องทิ้งเมื่อเครื่องบินห่างเรือเป็นระยะทางในแนวราบเท่าใด5.  ลูกบอลกลิ้งตกจากขอบบันไดขั้นที่  1  ด้วยความเร็ว  2.5  เมตร / วินาที ในแนวระดับถ้าบันไดแต่ละขั้นสูง  20  เซนติเมตร  กว้าง  30  เซนติเมตร  ลูกบอลจะตกกระทบบันไดขั้นที่เท่าใด     6.  ลูกกระสุนปืนถูกยิงจากปากกระบอกปืนด้วยความเร็ว 450  เมตร / วินาทีไปยังเป้าเล็ก ๆ ซึ่งห่างจากจุดยิงในแนวราบ  45  เมตร  จะต้องเล็ง ปืนไปยังจุดเหนือเป้าในแนวดิ่งน้อยที่สุดเท่าใด   กระสุนจึงถูกเป้า     7.  ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนล้อเลื่อน  ซึ่งกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่  15  เมตร / วินาที  ตามแนวราบ  ต้องการที่จะขว้างลูกบอลผ่านบ่วงที่อยู่นิ่งและสูงจากมือในแนวดิ่ง  20  เมตรโดยที่ขณะผ่านบ่วงลูกบอลมีความเร็วในแนวราบเท่านั้น  ลูกบอลถูกขว้างออกไปด้วยความเร็ว  25  เมตร / วินาที  เทียบกับตัวชาย  จงหา
              
ก.      ความเร็วต้นในแนวดิ่งของลูกบอล
              
ข.      เป็นเวลานานเท่าใดหลังจากขว้างลูกบอล  จึงจะผ่านบ่วงได้พอดี
              
ค.      ในการขว้างลูกบอลให้ผ่านบ่วงพอดี  ต้องขว้างที่จุดซึ่งห่างจากบ่วงในแนวราบเท่าใด
   8.  ขว้างลูกบอลหนึ่งไปในแนวระดับจากจุด  A  ซึ่งสูงจาก  B  บนผิวเกลี้ยง  1  เมตร  ลูกบอลตกไปยังจุด  C  ซึ่งห่างจาก  B  0.6  เมตร  แล้วสะท้อนจาก  C  ไปตกยังจุด  D  ซึ่งห่างจากจุด  C  0.9  เมตร  ดังรูป 
              
ก.       จงหาความเร็วต้นของลูกบอลที่ขว้า
              ข.       จงหาว่าเมื่อสะท้อนครั้งแรกลูกบอลจะขึ้นไปสูงสุดเท่าไร

 

สร้างโดย: 
bp26465

ผมอยากได้เฉลยด้วยอะครับช่วยหน่อยน่ะครับใกล้ส่งแล้ว

ผมอยากรู้ว่าเฉลยอยู่ใหนหรอครับ มีแต่โจทย์ไม่มีเฉลยหรอครับ สารานุกรม

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 
 

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 1 คน และ ผู้เยี่ยมชม 270 คน กำลังออนไลน์

รายชื่อสมาชิกที่ออนไลน์

  • kruyaikaa