ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์

รูปภาพของ knw32342

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์

ปริมาณกายภาพแบ่งออกได้ 2 ประเภท

1. ปริมาณสเกล่าร์ คือปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง มวล เวลา ปริมาตร ความหนาแน่น งาน พลังงาน ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกล่าร์ ก็อาศัยหลังการทางพีชคณิต คือ วิธีการ บวก ลบ คูณ หาร
2. ปริมาณเวกเตอร์
คือ ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร่ง ความเร็ว แรง โมเมนตัม ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์ ต้องอาศัยวิธีการทางเวคเตอร์ โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทาง

ปริมาณเวกเตอร์


1. สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์
ใช้อักษรมีลูกศรครึ่งบนชี้จากซ้ายไปขวา หรือใช้ตัวอักษรทึบแสดงปริมาณเวกเตอร์ก็ได้
2. เวกเตอร์ที่เท่ากัน
เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน
3. เวกเตอร์ลัพธ์ใช้อักษร R
4. การบวก-ลบเวกเตอร์
การบวก-ลบเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ
1. วิธีการเขียนรูป
2. วิธีการคำนวณ    

1.1 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว มีขั้นตอนดังนี้
(1) เขียนลูกศรตามเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด
(2) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์แรก
(3) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 3 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2
(4) ถ้ามีเวกเตอร์ย่อยๆอีก ให้นำเวกเตอร์ต่อๆไป มากระทำดังข้อ (3) จนครบทุกเวกเตอร์
(5) เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการลากลูกศรจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวของเวกเตอร์สุดท้าย เช่น

          

นิยามต้องทราบ
ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดและทิศทางหนึ่งๆ เวกเตอร์ -A คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ A แต่ มี ทิศทางตรงกันข้าม

1.2 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ
เนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูป ให้ผลลัพธ์ไม่แม่นยำเพียงแต่ได้คร่าวๆ เท่านั้น เพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอน

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์ จะแบ่งออกเป็น 3 ลักษณะ ดังนี้
1. เวกเตอร์ทั้ง 2 ไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง
2. เวกเตอร์ทั้ง 2 สวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่า
เพราะฉะนั้น R = B - A เมื่อ B > A , R = A - B เมื่อ A > B
3. เวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุม 0 ต่อกัน สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยให้เวกเตอร์ย่อยเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบ ณ จุดนั้น จะ ได้เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดและทิศทางตามแนวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลากจากจุดที่เวกเตอร์ทั้งสองกระทำต่อกัน

ระยะทาง (Distance) คือ ความยาววัดตามแนวเส้นที่อนุภาคเคลื่อนที่ เป็นปริมาณสเกล่าร์(มีเฉพาะขนาด)หน่วยมาตรฐาน SI คือ "เมตร"
การขจัด หรือ การกระจัด (Displacement) คือ เส้นตรงที่ลากจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่ไปยังจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่ เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง (คือ ทิศจากที่หัวศรลากจากจุดตั้งต้นไปสุดท้าย)มีหน่วย "เมตร" เช่นกัน

เวกเตอร์
(Vectors)


ปริมาณในทางฟิสิกส์ มี 2 ปริมาณ คือ

1. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) เป็นปริมาณที่บอกขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มวล , อัตราเร็ว , พลังงาน ฯลฯ
2. ปริมาณเวกเตอร์ (Vector) เป็นปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว , ความเร่ง , การกระจัด , แรง ฯลฯ
1. การรวมเวกเตอร์
การรวมเวกเตอร์ หมายถึง การบวกหรือลบกันของเวกเตอร์ตั้งแต่ 2 เวกเตอร์ ขึ้นไป ผลลัพธ์ที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant Vector) ซึ่งพิจารณาได้ ดังนี้

1.1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีการเขียนรูป ทำได้โดยเขียนเวกเตอร์ที่เป็นตัวตั้ง จากนั้นเอาหางของเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกหรือผลต่าง มาต่อกับหัวของเวกเตอร์ตัวตั้ง โดยเขียนให้ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการวัดระยะทาง จากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย


จากรูป เวกเตอร ์ =
1.2 การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์

ให้ เวกเตอร์ ทำมุมกับ เป็นมุม q คำนวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้ ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์คำนวณได้จากกฎของโคไซน์



ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จาก

a = ...........................................................(2)

หรือหาได้จากกฎของไซน์ ดังนี้

= = .......................................................(3)

ข้อสังเกต จากสมการที่ (1) พบว่า

  1. เมื่อ q = (คือ และ อยู่ในทิศทางเดียวกัน) จะได้ขนาดของ = โดยทิศทางของ มีทิศเดียวกับ และ
  2. เมื่อ q =
    2.1 ถ้า > จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ
    2.2 ถ้า < จะได้ = - และ มีทิศเดียวกับ

3. เมื่อ q = จะได้

ขนาด R = และ a =

1.3 การลบเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์ สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้เช่นเดียวกับการบวกเวกเตอร์ แต่ให้กลับทิศทางของเวกเตอร์ตัวลบ ดังนี้

.............................(4)

2. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วยในทิศทางใดๆ เช่น เวกเตอร์ สามารถเขียนได้ด้วยขนาดของ คูณกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ คือ

=

หรือ = .....................................................(5)

โดย คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีขนาดหนึ่งหน่วยและทิศเดียวกันกับ

ในระบบแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแกน x , y และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ , และ ตามลำดับ จะได้

= ; = ; = ..............................(6)

เมื่อ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน x

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน y

คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ มีทิศทางตามแนวแกน z

3. เวกเตอร์องค์ประกอบ (Component Vector)

3.1 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ถ้า อยู่ในระนาบ x , y โดย ทำมุม q กับแกน x

องค์ประกอบของ ตามแกน x คือ โดย = Acosq

องค์ประกอบของ ตามแกน y คือ โดย = Asinq

ดังนั้น เวกเตอร์ เขียนแยกเป็นองค์ประกอบได้ ดังนี้

=+ ............................(7)

หรือ

= Acosq + Asinq

โดยที่ ขนาดของ

= .................................(8)

3.2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ

กำหนดให้ อยู่บนระนาบ x , y ,z โดยเวกเตอร์ ทำมุมกับแกน x , y , z เป็นมุม q x , q y , q z

ตามลำดับ เวกเตอร์ สามารถแยกเป็นองค์ประกอบตามแกน x , y , z ได้ ดังนี้

ขนาดของ แทนด้วย Ax = Acosq x โดยที่ cosq x =

ขนาดของ แทนด้วย Ay = Acosq y โดยที่ cosq y =

ขนาดของ แทนด้วย Az = Acosq z โดยที่ cosq z =

ดังนั้น =

=

ขนาด คือ

A = .......................................(9)

ทิศทางของเวกเตอร์ คือ มุมที่ ทำกับแกน x , y , z หาได้จาก

: :

4. เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position Vector)

เวกเตอร์ตำแหน่ง หมายถึง เวกเตอร์ที่บอกตำแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า จุดอ้างอิง

จากรูป เวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด P และ Q เทียบกับจุด O ในระบบพิกัด โดย

จะได้

โดยขนาดของ คือ

.....................................(11)

ทิศทางของ หาได้จาก

; ; ...... (12)

5. การคูณเวกเตอร์ มี 2 แบบ ดังนี้

5.1 ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product หรือ dot product แทนด้วยเครื่องหมาย " . " )

กำหนดให้ ทำมุม กับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองมีนิยาม ดังนี้

โดยที่ A และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ

คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ A กับ B

คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์

ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y ,z จะได้ว่า

คุณสมบัติของผลคูณแบบสเกลาร์

ถ้า , , เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ , , เป็น unit vector ในแนวแกน x , y , z จะได้ว่า

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

โดยที่

ผลคูณเวกเตอร์ (Vector Product หรือ Cross Product แทนด้วยเครื่องหมาย “x” )

กำหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ที่ทำมุม q ต่อกัน และ เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ โดย

ขนาดของ มีนิยามว่า

ทิศทางของ หาได้โดยใช้กฎมือขวา โดยปลายนิ้วทั้งสี่แทนทิศทางของ และหมุนไปหา จะได้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศทางของ

คุณสมบัติของผลคูณแบบเวกเตอร์

1.

2.

3.

4.

5.

หรือเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) ได้ว่า

โดยที่

6. การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์

ถ้าเวกเตอร์ , และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ U ดังนั้น จะได้

1.

2.

3.

4.

5.

ความรัก

http://202.29.138.73/studentweb/Physics/page2.html

รูปภาพของ knw32340boat

เนื้อหาน่าอ่านมาก

 

ตกแต่งสวยงาม

 

โบ๊ทจ๊ะ! แวะมาดูบล็อกแล้วคอทเม้นให้ด้วยนะค่ะ {ขอบคุณค่ะ}

เนื้อหาดีนะคะ

 

*-*

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 192 คน กำลังออนไลน์