อนุกรม หน้า1

อนุกรม

 

อนุกรม

บทนิยาม     ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป 
a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด 
ทำนองเดียวกัน  ถ้า   a1,   a2,   a3,   …,   an,  …  เป็น  ลำดับอนันต์  จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป
a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  + …  ว่า   อนุกรมอนันต์

1. ความหมายของอนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก

กำหนด     a1,   a2,   a3,   … ,  an                                       เป็นลำดับจำกัด

จะได้        a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an                      เป็นอนุกรมจำกัด

และ เมื่อ   a1,   a2,   a3,   …,   an,   …                               เป็นลำดับอนันต์

จะได้        a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an   +  …           เป็นอนุกรมอนันต์

จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด  และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์

จากอนุกรม  a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an   +  …

เรียก       a1     ว่าพจน์ที่ 1    ของอนุกรม

a2     ว่าพจน์ที่ 2    ของอนุกรม

a3     ว่าพจน์ที่ 3    ของอนุกรม

an     ว่าพจน์ที่ n    ของอนุกรม

2. ตัวอย่างของอนุกรม

1.    1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99            เป็น อนุกรมจำกัด

ที่ได้จากลำดับจำกัด    1,  3,  5,  7,   …,   99

2.    1 +  2  +  4  +  …  +  2n-1  +   …       เป็น อนุกรมอนันต์

ที่ได้จากลำดับอนันต์  1,   2,   4,   …,   2n-1  ,   …

 อนุกรมเลขคณิต

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

กำหนด          a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d                         เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

d   เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต 

1.    1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99            เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 1,   3,   5,   …,   99                                เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

 

2.   25  +  20  + 15  +  10  +  …        เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 25,   20,   15,  10,   …           เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5

 

3.  7   +  14  +  21  +  28  +  …                       เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า  7,   14,   21,  28,   …            เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  7

 

บทนิยาม
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

เมื่อ      a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d                           เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an               ว่า  อนุกรมเลขคณิต

และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ให้  Sn  เป็นผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ที่มี   a1  เป็นพจน์แรก และ  d    เป็นผลต่างร่วม   จะได้

Sn  =  a1  +   (a1 + d)  +  … +  [a1+(n – 2)d]  +   [a1+(n –1)d]           -----(1)

หรือ Sn=  [a1 + (n –1)d]  +  [a1 + (n – 2)d]  + …  +  (a1 + d)    +      a1    -----(2)

สมการ (1)+(2)  จะได้

2Sn    =    [2a1 + (n –1)d]  +  [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 +  (n –1)d]  (n  พจน์ )

2Sn    =    n[2a1 +  (n –1)d]

 

 

   


# เซต                                             # เลขยกกำลัง                                      # จำนวนจริง
# ความสัมพันธ์                                   # ฟังก์ชัน                                           # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ                                           # อนุกรม                                        # ความน่าจะเป็น
# สถิติ                                       # สมการและอสมการ                                  # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ                                               # แบบทดสอบ
สร้างโดย: 
คุณครู ศรนรินทร์ สังวาลย์ และ น.ส. สุชานาถ อานนท์

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 
 

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 155 คน กำลังออนไลน์