ตรรกศาสตร์ หน้า1

 ตรรกศาสตร์

 

ประพจน์

บทนิยาม        ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง 
ตัวอย่างเช่น  
• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้   → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ 
• ใครทำจานแตก  → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก  → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ 

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ  

  เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้  

  1. ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)  

  2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)  

  3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)  

  4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน  

  5. นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p 

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

p q p ∧ q p ∨q p → q p ⇔ q ~p ~q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T

 

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ 
p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p 
p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) 
p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) 
p → q  สมมูลกับ ~p ∨ q
p → q สมมูลกับ ~q → ~p
p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) 

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ 
~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)  

 

สัจนิรันดร์

  ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย
  ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้
  p ∨ ~q [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q
  ~(p ∧ ~q) [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p
  (p ∧ q) → p (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
  (p ∧ q) → q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
  p → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~p ∨ q)
  q → (p ∨ q) (p → q) ⇔ (~q → ~p)
  [ p ∧ ( p → q)] → q (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
  [ ~p ∧ ( p → q)] → ~q ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)]
ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ 
p ∨ ~q [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q 
~(p ∧ ~q) [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p 
(p ∧ q) → p  (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
(p ∧ q) → q  (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
p → (p ∨ q)  (p → q) ⇔ (~p ∨ q)
q → (p ∨ q)  (p → q) ⇔ (~q → ~p)
[ p ∧ ( p → q)] → q  (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q  ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] 
ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์

 

 

   


# เซต                                             # เลขยกกำลัง                                      # จำนวนจริง
# ความสัมพันธ์                                   # ฟังก์ชัน                                           # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ                                           # อนุกรม                                        # ความน่าจะเป็น
# สถิติ                                       # สมการและอสมการ                                  # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ                                               # แบบทดสอบ
สร้างโดย: 
น.ส. สุชานาถ อานนท์

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 
 

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 134 คน กำลังออนไลน์