ความสัมพันธ์

 

ความสัมพันธ์

 

คู่อันดับและผลคุณคาร์ทีเซียน

• คู่อันดับ
          คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

  สมบัติของคู่อันดับ
  1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b 
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d 
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d 

• ผลคูณคาร์ทีเซียน 
          ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

 

นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } 

 สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน 
  กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว  

1.A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø

2. A × Ø = Ø × A = Ø

3. A × ( B ∪ C )  = (A× B) ∪(A × C) 
(A ∪ B) × C  = (A× C) ∪(B × C)

4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)    
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)    

5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C)    
(A - B) × C ) = (A× C) - (B × C)    

6. ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C

7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)

8. ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์

 

ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์


• ความสัมพันธ์ 
          กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B
และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
 
ตัวอย่างเช่น
กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x } 
∴ r = { (1,2), (2,4) } 
  หมายเหตุ (x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y 
   
โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์
 
กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B 

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr

   Dr = { x | (x, y) } ∈ r
 

เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

      Rr = { y | (x, y) } ∈ r

 

หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้  
1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r

 

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ 

บทนิยาม       ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R  

 

อินเวอร์สของความสัมพันธ์

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1

 

การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้

วิธีที่ 1  สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}
∴ r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1}

วิธีที่ 2  สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม


สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์
 
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B

1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต  B ไปเซต A
2. D r = R r-1 และ R r = D r-1

กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์

เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้

  วิธีที่ 1 
1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1
2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1

  วิธีที่ 2 
1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r
2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y

 

 

   


# เซต                                             # เลขยกกำลัง                                      # จำนวนจริง
# ความสัมพันธ์                                   # ฟังก์ชัน                                           # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ                                           # อนุกรม                                        # ความน่าจะเป็น
# สถิติ                                       # สมการและอสมการ                                  # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ                                               # แบบทดสอบ

สร้างโดย: 
น.ส. สุชานาถ อานนท์

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 
 

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 38 คน กำลังออนไลน์