จำนวนจริง หน้า2

จำนวนจริง

 

การเเก้อสมการตัวเเปรเดียว

บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป 
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n" 

ตัวอย่างเช่น x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 
4x2 + 4x +1 = 0 
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 

• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ 

ทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ 
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) 

ทฤษฎีบทตัวประกอบ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 


แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว 
นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) 

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 

ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว 
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an 
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0

 

ตัวอย่างที่ 1  จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0 
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) 
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18) 
= (x-1)(x-3)(x-6) 
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0 
x = 1, 3, 6 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6} 

 

 

ตัวอย่างที่ 2  จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0 
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0 
= 27 - 9 - 15 - 3 
= 0 
∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x) 
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1) 
= (x-3)(x+1)(x+1) 
x3 - x2 - 5x - 3 = 0 
(x-3)(x+1)(x+1) = 0 
x = 3, -1 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3} 

 

สมบัติการไม่เท่ากัน

บทนิยาม a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b 
a > b     หมายถึง    a มากกว่า b 

• สมบัติของการไม่เท่ากัน 
กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 
1. สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 
3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 
4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc 
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 
6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม a ≤ b  หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b 
a ≥ b  หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c  หมายถึง a < b และ b < c 
a ≤ b ≤ c  หมายถึง a ≤ b และ b ≤ 

ช่วงของจำนวนจริงเเละการเเก้อสมการ

• ช่วงของจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b 

1. ช่วงเปิด (a, b) 
(a, b) = { x | a < x < b }  

2. ช่วงปิด [a, b] 
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }  

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] 
(a, b] = { x | a < x ≤ b }  

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) 
[a, b) = { x | a ≤ x < b }  

5. ช่วง (a, ∞) 
(a, ∞) = { x | x > a}  

6. ช่วง [a, ∞) 
[a, ∞) = { x | x ≥ a}  

7. ช่วง (-∞, a) 
(-∞, a) = { x | x < a}  

8. ช่วง (-∞, a]
(-∞, a] = { x | x ≤ a}  

• การแก้อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 

 

   


# เซต                                             # เลขยกกำลัง                                      # จำนวนจริง
# ความสัมพันธ์                                   # ฟังก์ชัน                                           # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ                                           # อนุกรม                                        # ความน่าจะเป็น
# สถิติ                                       # สมการและอสมการ                                  # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ                                               # แบบทดสอบ
สร้างโดย: 
น.ส. สุชานาถ อานนท์

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 
 

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน

ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 13 คน กำลังออนไลน์