เฉลยแบบฝึก เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่

เฉลยแบบฝึก เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่

สร้างโดย : นางสาวมนลดา กล่อมแก้ว
สร้างเมื่อ พุธ, 14/07/2010 – 12:05
มีผู้อ่าน 633,882 ครั้ง (24/10/2022)
ที่มา : http://www.thaigoodview.com/node/68381

เฉลยแบบฝึก เรื่อง
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่

1.  บริษัทแห่งหนึ่งมีตำแหน่งว่างสำหรับพนักงานใหม่ดังนี้  พนักงานขายของ 10  ตำแหน่ง  พนักงานขับรถ  10  ตำแหน่ง พนักงานส่งของ 10  ตำแหน่ง  แต่มีคนมาสมัครเพียง 5  คนเท่านั้น  ซึ่งผู้จัดการบริษัทก็รับเข้าทำงานทุกคน  จงหาว่าผู้จัดการจะบรรจุพนักงานทั้ง 5  คนเข้าทำงานในตำแหน่งต่างๆ ได้กี่วิธี  

เฉลย          

          เนื่องจากบริษัทต้องการรับสมัครพนังงานในตำแหน่งงาน  3  ประเภท  คือ พนักงานขาย พนักงานขับรถ  และพนักงานส่งของ         

              ผู้สมัครคนที่       1             2            3            4            5                  

              บรรจุได้             3      x     3      x    3     x     3    x      3   =   3 ⁵  =  243  วิธี

2.  จากตัวเลขในเซต  { 0 , 1  , 2  , 6 , 7 , 8 , 9 }  นำมาสร้างเป็นจำนวนคี่  3  หลัก ที่ใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกันเลยจะสร้างได้กี่จำนวน

 เฉลย

                  สร้างหลักหน่วยได้           3     วิธี         ( 1  ,  7  ,  9  )

                  สร้างหลักร้อยได้             5     วิธี         ( เลขที่เหลือจากการสร้างหลักหน่วย  ไม่รวม 0 )   

                  สร้างหลักสิบได้              5     วิธี         ( เลขที่เหลือจากการสร้างหลักหน่วยและหลักสิบ )

                 ดังนั้น  สร้างจำนวนได้่   3 x 5 x 5  =  75  วิธี

3.  มีกิ่งไม้  8  กิ่ง  ซึ่งแต่ละกิ่งจะให้นกเกาะได้เพียง  1  ตัวเท่านั้น    ถ้ามีนกอยู่  5  ตัว นกทั้งหมดจะเลือกเกาะกิ่งไม้เหล่านี้ได้กี่วิธี 

เฉลย

                    กิ่งไม้แต่ละกิ่งจะให้นกเกาะได้เพียง  1  ตัวเท่านั้น

                    ดังนั้น  จำนวนวิธีที่นกจะเลือกเกาะกิ่งไม้          =       P_8,5 

                                                                                         =     

4.  ลูกปิงปอง 6 สีที่แตกต่างกัน  แต่ละสีมี 3 ลูก  ซึ่งเขียนหมายเลข 1 , 2  , 3  ติดไว้เพื่อแสดงความแตกต่างกัน  กำหนดให้เลือกหยิบมา 3 ลูก  โดยหยิบทีละลูก จงหาจำนวนวิธีในการหยิบได้ลูกปิงปองเป็น 3 สีที่แตกต่างกันและหมายเลขก็ต่างกันด้วย

เฉลย

5.  ม้าโยกสำหรับเด็กนั่งเล่นจัดเรียงไว้เป็นวงกลมมี  5  ตัวเหมือนกัน เด็กกลุ่มหนึ่งมี  7  คน  จะจัดให้นั่งเล่นม้าโยกได้ทั้งหมดกี่วิธี  โดยจำกัดม้าโยกแต่ละตัวนั่งได้เพียงคนเดียวเท่านั้น

เฉลย

6.  จากตัวอักษรในคำว่า “ กนกนครชวนชม ”  ถ้านำมาเรียงกันใหม่โดยไม่สนใจในความหมายของคำ จงหาจำนวนคำที่เรียงกันแล้วอักษร  “ ก ”  อยู่ติดกัน  และอักษร “ ช ”  อยู่ติดกัน  แต่อักษร “ น ” จะอยู่แยกจากกันหมด

เฉลย

                             จากคำว่า ” กนกนครชวนชม ”  มีตัวอักษร  ดังนี้

                          ก   2  ตัว ,  น  3  ตัว  ,  ช  2  ตัว  , ค  1  ตัว  ,  ร  1  ตัว  ,  ม  1  ตัว  ,  ว  1  ตัว   รวมทั้งสิ้น  11  ตัว

                               มัด  ก  2  ตัว  อยู่ติดกัน  ได้                 1        วิธี

                               มัด  ช  2  ตัว  อยู่ติดกัน  ได้                 1        วิธี

                              เรียง มัด ก , มัด ช , ค , ร , ม , ว  ได้    6!       วิธี

                                                    _ O _ O _ O _ O _ O _ O _

                              แทรก  น  3  ตัว เหมือนกัน  ในที่ว่างได้    C_7,3    วิธี

                             ดังนั้น  จำนวนคำที่สร้างได้     =    1 x 1 x 6! x  C_7,3

                                                                         =  25,200        วิธี

7.  มีจดหมาย  6  ฉบับที่แตกต่างกัน  และตู้รับจดหมาย  3  ตู้ จะนำจดหมายทั้งหมดใส่ลงตู้ได้กี่วิธี ( ตู้จดหมายแต่ละตู้มีช่องใส่จดหมายช่องเดียว )

เฉลย

                                มีจดหมาย  6  ฉบับที่แตกต่างกัน

                               จดหมายแต่ละฉบับมีวิธีการใส่ลงในตู้จดหมายได้         3   วิธี

                               ดังนั้่น         จะนำจดหมายใส่ตู้ได้             3⁶     =      729       วิธี

8.  บ้านพักชายทะเลมี  5  ห้อง  เป็นห้องเตียงคู่  3  ห้อง  และห้องเตียงเดี่ยว  2  ห้อง จะจัดคน  8  คนซึ่งมีสามี – ภรรยาคู่หนึ่งรวมอยู่ด้วย  เข้าพักห้องดังกล่าวได้กี่วิธี  โดยสามี – ภรรยาต้องอยู่ห้องเดียวกัน

เฉลย

9.  พิจารณาตารางที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1	2	3	4
8	7	6	5
9	10	11	12
16	15	14	13

         จากตาราง  แต่ละช่องมีหมายเลขกำกับไว้  จงหาจำนวนวิธีนำลูกบอล  A  และ  B  ใส่ลงในช่อง ( 1 ช่อง ใส่ลูกบอลได้ 1 ลูก ) โดยที่ลูกบอลทั้งสองจะต้องอยู่ในช่องที่มีด้านอยู่ติดกันเสมอ  จะทำได้กี่วิธี  

เฉลย

        กรณี 1  ให้  ลูก  A  ใส่ลงในช่องที่มีด้านติดกับช่องอื่น ๆ  2  ด้าน  มี  4  ช่อง  ( 1 , 4 , 13 , 16 )

                                       จะได้ จำนวนวิธีการใส่ ลูกบอล A , B =  2 x 4  =  8  วิธี

        กรณี 2 ให้  ลูก  A  ใส่ลงในช่องที่มีด้านติดกับช่องอื่น ๆ  3  ด้าน  มี  8  ช่อง  ( 2 , 3 , 8 , 9 , 5 , 12 , 14 , 15 )

                                     จะได้ จำนวนวิธีการใส่ ลูกบอล A , B =  3 x 8  =  24  วิธี

        กรณี 3 ให้  ลูก  A  ใส่ลงในช่องที่มีด้านติดกับช่องอื่น ๆ  4  ด้าน  มี  4  ช่อง  ( 6 , 7 , 10 , 11 )

                                     จะได้ จำนวนวิธีการใส่ ลูกบอล A , B =  4 x 4  =  16  วิธี

        ดังนั้น  จำนวนวิธีนำลูกบอล  A และ  B  ใส่ลงในช่อง  8 + 24 + 16  =  48  วิธี

10.  ในการจัดนักเรียน  10  คน  ซึ่งมีนาย ก  และนาย  ข  รวมอยู่ด้วย  ให้นั่งเป็นแถวหน้ากระดาน  แถวละ  5  คน จงหาจำนวนวิธีที่จัดแล้วนาย ก และนาย ข  ได้นั่งอยู่ในแถวเดียวกันและนั่งติดกันเสมอต่างกัน 

เฉลย

                                                      O O O O O

                                                      O O O O O

                               ก,ข  เลือกแถวนั่งได้        2     วิธี    (  มี  2  แถว )

         สมมติมีคนนั่งในแถวที่  ก,ข  นั่งอยู่ก่อนแล้ว  3  คน   _ O _ O _ O _    เลือกแทรก  ก,ข  นั่งในที่ว่างได้   4  วิธี

                             ก,ข  นั่งสลับกันได้          2!     วิธี    (  กข  หรือ  ขก )

                             จัดคน  8  คน  นั่งในที่ว่างอีก  8  ที่  ได้   8!    วิธี

                     ดังนั้น    จัดคน  10  คน  นั่งได้   2 x 4 x 2! x 8!   =   645,120  วิธี

11.  มีลูกกุญแจตราเยล  3 ลูกที่แตก ลูกกุญแจตราโซโลที่ต่างกัน  5  ลูก  และลูกกุญแจตราสามห่วงที่ต่างกัน  2  ลูก นำมาร้อยเข้าในพวงกุญแจเดียวกันทำได้กี่วิธี 

เฉลย

                            มีลูกกุญแจที่แตกต่างกัน    10   ลูก    นำมาสร้างเป็นวงกลมได้  ( 10 – 1 )!   วิธี

                           เนื่องจากนำร้อยในพวงกุญแจเดียวกัน  จึงมองได้  2  ด้าน  ไม่แตกต่างกัน

                 ดังนั้น   ร้อยพวงกุญแจได้       ( 10 – 1 )! /  2   =   181,440   วิธี

12.  ประตูเข้า – ออก คฤหาสน์หลังหนึ่ง  มีประตูอยู่  5  ประตู  ให้ ต่อ  ต้น  และตุ้ย  เดินเข้าออกประตูคฤหาสน์นี้ได้กี่วิธี ถ้าตอนออกจะใช้ประตูซ้ำกับตอนเข้าไม่ได้  และทั้งสามคนจะใช้วิธีเดียวกันไม่ได้ 

เฉลย

                             ต่อเดินเข้าและออกได้    5 x 4      =    20     วิธี      ( เข้า – ออก  ประตูไม่ซ้ำกัน )

                             ต้นเดินเข้าและออกได้                  =   19      วิธี     

                             ตุ้ยเดินเข้าและออกได้                  =    18      วิธี

                 ดังนั้น  จะเดินเข้า – ออก ประตูได้       20 x 19 x 18   =   6,840     วิธี

13.  ในการจัดคน  8  คน ซึ่งมีจินและโจรวมอยู่ด้วย  นั่งถ่ายรูปโดยจัดนั่งเป็น  2  แถวๆ ละ 4  คน จงหาจำนวนวิธีที่  จินและโจ จะนั่งติดกันเสมอในแถวหน้า  

เฉลย

                                               O O O O

                                               O O O O

                           ขั้น 1     จัดจินและโจนั่งติดกัน  สลับกันได้          2!      วิธี

                           ขั้น  2    จินและโจเลือกแถวนั่งได้                       1       วิธี     ( เลือกแถวแรกเท่านั้น )

                           ขั้น  3    จัดจินและโจนั่งแถวแรกได้                     3       วิธี     ( ตำแหน่ง  12 , 23 , 34 )

                           ขั้น  4    จัดคนที่เหลืออีก  6  คน นั่งในที่ว่างได้    6!     วิธี

                 ดังนั้น    จำนวนวิธีในการนั่ง   =   2! x 1 x 3 x 6!    =   4,320    วิธี

14.  ในการแต่งตัวของนางสาวตุ๊กตาแบ่งเป็น  2  ขั้นตอน  คือ  สวมเสื้อแล้วสวมกระโปรง ถ้านางสาวตุ๊กตามีเสื้อสีน้ำเงิน  3  ตัว  สีเขียว  4  ตัว  และมีกระโปรงสีแดง  3  ตัว  สีน้ำเงิน  6  ตัว  และสีเขียว  2  ตัว ซึ่งหากนางสาวตุ๊กตาสวมเสื้อสีน้ำเงินก็อาจเลือกสวมกระโปรงสีแดงหรือสีน้ำเงินแต่ไม่สวมกระโปรงสีเขียวเด็ดขาด และหากสวมเสื้อสีเขียวจะต้องสวมกระโปรงสีเขียวเท่านั้น  จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการแต่งตัวครั้งนี้ 

เฉลย

                         กรณี  1   ใส่เสื้อสีน้ำเงิน

                                        เลือกใส่เสื้อได้               3     วิธี  ( เสื้อสีน้ำเงิน )

                                        เลือกใส่กระโปรงได้       9      วิธี   ( กระโปรงสีแดงหรือสีน้ำเงิน )

                                       ดังนั้นแต่งตัวได้     3 x 9  =  27   วิธี

                        กรณี  2    ใส่เสื้อสีเขียว

                                        เลือกใส่เสื้อได้               4     วิธี  ( เสื้อสีเขียว )

                                        เลือกใส่กระโปรงได้       2      วิธี   ( กระโปรงสีเขียว )

                                       ดังนั้นแต่งตัวได้     4 x 2  =  8   วิธี

                      ดังนั้น     แต่งตัวได้ัทั้งหมด    27 + 8  =  35  วิธี

15.  จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการนำนกหงส์หยกทั้งหมดใส่กรง 4 กรง  โดยมีนกตัวผู้ 1 ตัว  และตัวเมีย 5 ตัว โดยให้ตัวผู้อยู่ในกรงใดกรงหนึ่งตัวเดียวเท่านั้น  

เฉลย

                               นกตัวผู้  เลือกกรงได้                      4      วิธี     (  มี  4  กรง )

                               เหลือกรงอีก  3  กรง

                              เนื่องจาก  นกตัวเมียแต่ละตัวเลือกกรงได้    3   วิธี     ( มี  3  กรง  เลือกเข้ากรงใดก็ได้ )

                             ดังนั้น   นกตัวเมีย  5  ตัว  นำใส่กรงได้   3 x 3 x 3 x 3 x 3   =   243    วิธี

               ดังนั้น     จำนวนวิธีนำนกทั้งหมดใส่กรง   =    4 x 243    =    972    วิธี

16.  การประชุมโต๊ะกลมของกลุ่มประเทศที่เป็นสมาชิกองค์การอาเซียน  6  ชาติ  ได้แก่  ไทย  มาเลเซีย  สิงคโปร์  บรูไน อินโดนีเซีย  และฟิลิปปินส์  ซึ่งแต่ละชาติจะส่งตัวแทนมาชาติละ  2  คน  คือ  ชาย  1  คน และหญิง  1  คน       จะจัดแบบการนั่งประชุมได้กี่วิธี  โดยจัดเป็นวงกลมซ้อนกัน  2  วง  โดยให้ชายอยู่แถวหลังตรงกับหญิง และแต่ละคนนั่งหันหน้าสู่ศูนย์กลางทั้งสองวง 

เฉลย

                          ผู้หญิง  6  คน นั่งเป็นวงกลมได้                            5!     วิธี

                          ผู้ชาย  6  คน  นั่งแถวหลังตรงกับผู้หญิงได้            6!      วิธี     ( ยึดผู้หญิงเป็นหลัก  จึงคิดผู้ชายเสมือนการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรง )

                ดังนั้น   จัดนั่งประชุมได้      5! x 6!   =  86,400  วิธี

17.  จากอักษรในคำว่า  “  EDUCATION ”  นำมาเรียงเป็นคำใหม่ซึ่งจะมีความหมายหรือไม่มีความหมายก็ได้ โดยสระจะอยู่แยกจากกันหมด  จะเรียงได้กี่วิธี  

เฉลย

                             สระ  ได้แก่   E , U , A , I , O       และพยัญชนะ  ได้แก่  D , C , T , N

                             ขั้น  1    จัดเรียงพยัญชนะ  4  ตัว   ได้                 4!      วิธี

                            ขั้น  2     จัดเรียงสระ  5  ตัว  แทรกระหว่างพยัญชนะ ซึ่งมี  5  ที่  ได้  P_5,5  =  5!   วิธี

              ดังนั้น      เรียงได้     4! x 5!    =  2,880   วิธี

18.  มีจุด  8  จุดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปแปดเหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดจากจุดทั้ง  8  จุดนี้

เฉลย

                    จำนวนเส้นทั้งหมดที่เกิดจากการลากเส้นเชื่อมจุด  8  จุด ซึ่งอยู่บนเส้นรอบวงกลม   =   C_8,2   เส้น

                             จำนวนเส้นรอบรูป  8  เหลี่ยม  =    8      เส้น

                ดังนั้น   จำนวนเส้นทแยงมุม  =  จำนวนเส้นทั้งหมด  –  จำนวนเส้นรอบรูป 

19.  สลาก  10  ใบ  มีหมายเลข  1 ถึง  10  กำกับไว้ ต้องการหยิบสลาก  3  ครั้ง  ครั้งละ 1 ใบ  แล้วได้หมายเลข  5  ในการหยิบครั้งที่  2 โดยที่สลากอีก  2  ใบนั้น  ใบหนึ่งต้องน้อยกว่า  5  และอีกใบหนึ่งต้องมากกว่า  5   จะหยิบได้กี่วิธี

เฉลย 

        จำนวนวิธีในการหยิบสลากแล้วได้หมายเลข  5  ในการหยบครั้งที่  2     =      1          วิธี

        จำนวนวิธีในการเลือกบัตร  1  ใบ  แล้วน้อยกว่า  5                               =      4         วิธี    ( 1 , 2 , 3 , 4 )

        จำนวนวิธีในการเลือกบัตร  1  ใบ  แล้วมากกว่า  5                                =      5         วิธี    ( 6 , 7 , 8 , 9 , 10 )

        วิธีการที่จะหยิบได้ในครั้งที่  1 และ 3                                                   =      2!        วิธี

                  ดังนั้น    จะหยิบได้     1 x 4 x 5 x 2!   =  40   วิธี

20.  ในการจัดลูกเสือสำรอง  8  คน  นั่งล้อมรอบกองไฟ  2  กอง กองละ  4  คน  จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี   

เฉลย

                                 จัดลูกเสือ   8   คน  แบ่งเป็น  2  กอง  ได้    8! / ( 4! 4! 2! )      วิธี    

                                จัดลูกเสือ  2  กอง  นั่งล้อมรอบกองไฟได้   ( 4 – 1 )! ( 4 – 1 )!  =  3! 3!    วิธี

                ดังนั้น  จะจัดได้ทั้งหมด    ( 8! / ( 4! 4! 2! )) x 3! 3!    =   1,260   วิธี

21.  นำบัตรเลขโดด  2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4   นำมาเรียงเป็นเลข  6  หลัก  ได้ทั้งหมดกี่จำนวน 

เฉลย

                                 มีเลข  2   จำนวน  1  ตัว  , มีเลข  3  จำนวน  3  ตัว  , มีเลข  4  จำนวน  2  ตัว

                                นำตัวเลขทั้ง  6  ตัวมาสร้างจำนวนได้    =  6! / 3!2!    =   60    จำนวน

22.  ชายคนหนึ่งต้องการมีบุตร  9  คน  โดยกะให้เป็นชาย  5  คน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่บุตรของชายนี้  คนโตเป็นชาย  คนกลางเป็นชาย  และคนสุดท้องเป็นหญิง   

เฉลย

                              จำนวนวิธีที่บุตรคนโตเป็นชาย                          =       1    วิธี

                              จำนวนวิธีที่บุตรคนกลางเป็นชาย                      =       1    วิธี

                              จำนวนวิธีที่บุตรคนสุดท้องเป็นหญิง                  =       1     วิธี

เนื่องจากต้องการบุตรชาย 5 คน  (บุตรหญิง 4)  ดังนั้น เมื่อตัดบุตรคนโต  คนกลาง  และบุตรคนสุดท้องไป  จะเหลือ

                  บุตรชาย   3  คน ( บุตรหญิง  3 คน )  จากคนที่เหลืออีก   6   คน

จะได้  จำนวนวิธีในการมีบุตรชาย  3  คน  และบุตรหญิง  3  คน  จากบุตร  6  คน  =  6! / 3!3!     =   20    วิธี

                  ดังนั้น   จำนวนวิธีในการมีบุตรตามเงื่อนไขดังกล่าว   =   1 x 1 x 1 x 20   =    20   วิธี

23.  จงหาว่าเลข  5  หลักที่หารด้วย 5  ลงตัว ซึ่งสร้างจากเลขโดด  0 , 1 , 2 , 3 , … , 9  โดยใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกัน  จะมีกี่จำนวน  

เฉลย

                           กรณี  1      หลักหน่วยเป็น     0    เท่านั้น

                    สร้างหลักหน่วยได้                                                       1        วิธี   ( 0 )

                    สร้างหลัก  หมื่น , พัน , ร้อย , สิบ  ได้     9 x 8 x 7 x 6  =  3,024  วิธี   ( 1 – 9 )

                    ดังนั้น  สร้างจำนวนที่  5  หารลงตัวที่มีหลักหน่วยเป็น  0  ได้    =  1 x 3024  =  3,024   จำนวน

                        กรณี  2      หลักหน่วยเป็น     0    เท่านั้น

                    สร้างหลักหน่วยได้                                                       1        วิธี   ( 5 )

                    สร้างหลักหมื่นได้                                                        8        วิธี    ( 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 )

                      สร้างหลักพัน , ร้อย , สิบ  ได้               8 x 7 x 6  =   336   วิธี   ( 0 , เลขที่เหลือ )

                    ดังนั้น  สร้างจำนวนที่  5  หารลงตัวที่มีหลักหน่วยเป็น  5  ได้    =  1 x 8 x 336  =  2,688   จำนวน

                    ดังนั้น        สร้างจำนวนได้ที่   5  หารลงตัวได้    3,024 + 2,688  =   5,712   จำนวน

24.  จงหาจำนวนวิธีในการจัดวางลูกบอลสีแดง 6 ลูก  สีขาว  4  ลูก (บอลสีเดียวกันถือเป็นของเหมือนกัน ) เรียงเป็นแถวเดียวตรง โดยให้บอลสีขาววางแยกกันมีบอลสีแดงคั่นอยู่เสมอ  

เฉลย

                          วางลูกบอลสีแดง  6  ลูก  เหมือนกันได้                   6! / 6!   =   1   วิธี

                         วางลูกบอลสีขาว   4  ลูก  เหมือนกัน  ในที่ว่าง  7  ที่ ( แทรกระหว่างสีแดง )  ได้    C_7,4  =  35   วิธี

               ดังนั้น จำนวนวิธีในการวาง   =   1 x 35   =   35  วิธี

25.  จากการโยนเหรียญ  4  เหรียญพร้อมกับทอดลูกเต๋า  4  ลูก  จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่จะได้เหรียญออกหัว  2  เหรียญ และลูกเต๋าขึ้นแต้ม  3  และ  4  ส่วนอีก  2  ลูก  ไม่ใช่แต้ม  3  และ 4

เฉลย

                            จำนวนวิธีที่เหรียญจะออกหัว  2  เหรียญ ( ก้อย  2  เหรียญ )   =    4! / 2!2!   =   6         วิธี

                            เลือกลูกเต๋า  2  ลูก  จาก  4  ลูก  ให้ขึ้นแต้ม  3  และ  4  ได้   C_4,2               =   6         วิธี

                            วิธีการขึ้นแต้ม ( 3  หรือ  4 )  ของลูกเต๋า  2  ลูกที่เลือกมา                           =    2!       วิธี

                            วิธีการขึ้นแต้ม ( ที่ไม่ใช่  3  และ 4 )  ของลูกเต๋าที่เหลืออีก  2  ลูก              =    4 x 4   วิธี

                 ดังนั้น   จำนวนวิธีของเหตุการณ์ดังกล่าว  คือ   6 x 6 x 2! x 4 x 4   =    1,152   วิธี

26.  ลูกบอลสีแดง  6  ลูก  สีขาว  3  ลูก ( บอลสีเดียวกันถือเป็นของเหมือนกัน ) จะมีวิธีเรียงเป็นแถวได้กี่วิธีโดยให้ลูกบอลที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเป็นสีเดียวกัน    

เฉลย

                        กรณีที่  1    ลูกบอลที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเป็นสีแดง      ( ด O O O O O O O ด )

                                           ลูกที่  2  ถึงลูกที่  8  จะเป็นสีแดง  4  ลูก  สีขาว  3  ลูก ( สีเดียวกันเหมือนกัน )

                                           ดังนั้น  จัดเรียงได้     7! / 4!3!  =  35   วิธี

                         กรณี  2    ลูกบอลที่อยู่หัวแถวและท้ายแถวเป็นสีขาว      ( ข O O O O O O O ข )

                                           ลูกที่  2  ถึงลูกที่  8  จะเป็นสีแดง  6  ลูก  สีขาว  1  ลูก ( สีเดียวกันเหมือนกัน )

                                           ดังนั้น  จัดเรียงได้     7! / 6!  =  7   วิธี

              ดังนั้น  วิธีเรียงเป็นแถว   =  35 + 7  =  42   วิธี

27.  ต้นเบญจมาส  4  ต้นต่างกัน  ต้นพวงทอง  3  ต้นต่างกัน  และต้นดาวเรือง  2  ต้นต่างกัน นำมาปลูกรายรอบเป็นวงกลมโดยต้นพวงทองทุกต้นปลูกแยกจากกัน  จะปลูกได้กี่วิธี

เฉลย

                              เรียงต้นเบญจมาส  4  ต้น  และต้นดาวเรือง  2 ต้น เป็นวงกลม  ได้                 5!     วิธี

       แทรกต้นพวงทอง  3  ต้น  ระหว่างต้นเบญจมาสและต้นดาวเรืองที่วางในตอนแรก ( มี 6  ที่ ) ได้   6 x 5 x 4  วิธี

              ดังนั้น  ปลูกได้    5! x 6 x 5 x 4  =  14,400  วิธี

28.  จงหาว่ามีเลขกี่จำนวนที่มากกว่า  3,000,000  ที่ได้จากการนำบัตรตัวเลข  1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3  มาสร้าง

เฉลย

                     หลักล้านสร้างได้      2! / 2!    =                                 1     วิธี   
                     ( ใช้เลข  3  เท่านั้น ซึ่งเลข  3  ทั้ง  2  ตัวไม่แตกต่างกัน )

                      หลังจากสร้างหลักล้าน เหลือเลข  1  จำนวน  3 ตัว  เลข  2  จำนวน  2  ตัว  และเลข  3  จำนวน  1  ตัว

                        สร้างหลักที่เหลือ่ได้        6! / ( 3! 2! )   =   60     วิธี

            ดังนั้น  สร้างจำนวนที่มากกว่า  3,000,000  ได้   1 x 60  =  60  จำนวน

29.  ชาย  3  คน  หญิง  4  คน  ยืนเรียงกันเป็นวงกลม  โดยชายคนใดคนหนึ่งยืนชิดกับชายอีกคนหนึ่งไม่ได้ จะจัดให้ยืนเรียงกันนี้ได้กี่วิธี  

เฉลย

                             ผู้หญิง  4  คน  ยืนเป็นวงกลม  ได้                      3!  วิธี

                              แทรกผู้ชาย  3  คน  ระหว่างผู้หญิง ( มี 4 ที่ )  ได้  P_4,3  =  4 x 3 x 2  =  24  วิธี

                  ดังนั้น  ยืนได้   3! x 24   =  144  วิธี

30.  มีสลาก  20  ใบที่เขียนหมายเลขกำกับไว้  จาก  1  ถึง  20  เมื่อนำสลากทั้งหมดนี้ใส่กล่อง  แล้วสุ่มหยิบมา  1  ใบ จงหาจำนวนวิธีที่หยิบได้สลากที่หารด้วย  2  หรือ  7  ลงตัว

เฉลย

               เขียนหมายเลข  1  – 20  มีดังนี้

               1  ,  2  ,  3  ,  4  ,  5  ,  6  ,  7  ,  8  ,  9  ,  10  ,  11  ,  12  ,  13  ,  14  ,  15  ,  16  ,  17  ,  18  ,  19  ,  20

                            พบว่า  มี  11  จำนวน

               ดังนั้น   จำนวนวิธีที่หยิบได้สลากที่หารด้วย  2  หรือ  7  ลงตัว  คือ  11  วิธี

              **  หมายเหตุ  :   ถ้าตัวเลขมีเป็นจำนวนมากให้ใช้ความรูเรื่องเซตมาประยุกต์ใช้